О топологической классификации многомерных полярных потоков

Журнал Средневолжского математического общества. 2022. Т. 24. № 1. С. 31–39.

Гуревич Е. Я., Денисова Н. С.

Работа посвящена решению задачи о топологической классификации структурно-устойчивых потоков, восходящей к классическим работам Андронова, Понтрягина, Леонтович и Майера. К настоящему времени имеются исчерпывающие классификационные результаты для потоков Морса-Смейла (структурно-устойчивых потоков, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа неподвижных точек и периодических траекторий), заданных на многообразиях, размерность которые не превышает трех, и совсем небольшое число результатов для высших размерностях. Это объясняется возрастающей сложностью топологических задач, которые возникают при описании структуры разбиения многомерного фазового пространства на траектории. В настоящей работе рассматривается класс G(Mn) потоков Морса-Смейла на замкнутом связном ориентируемом многообразии Mn, неблуждающее множество которых состоит в точности из четырех точек: источника, стока и двух седел. Для случая, когда размерность n несущего многообразия равна 4 и выше, дополнительно предполагается, что одно из инвариантных многообразий каждого седлового состояния равновесия одномерно. Для потоков из этого класса описана топология несущего многообразия, получена оценка минимального числа гетероклинических кривых, необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности, а также описан алгоритм реализации стандартного представителя каждого класса топологической эквивалентности. Один из удивительных результатов работы состоит в том, что если при n=3 имеется счетное множество многообразий, допускающих потоки из рассматриваемого класса, то в размерности n>3 несущее многообразие всего одно (с точностью до гомеоморфизма).

Ключевые слова: топологическая классификация, градиентно-подобный поток, полярный поток

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Теория динамических систем и ее приложения (2023)