Обобщённый граф Вонга для потоков Морса на поверхностях

Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25. № 3. С. 123–149.

Круглов В. Е., Рекшинский М. С.

Настоящая работа посвящена градиентно-подобным потокам на поверх-
ностях, представляющих из себя потоки Морса-Смейла без предельных циклов, и их
топологической классификации с точностью до топологической сопряжённости. Такие
потоки, называемые иначе потоками Морса, были неоднократно классифицированы по-
средством различных топологических инвариантов. Одним из таких инвариантов явля-
ется двуцветный граф К. Вонга, действующий лишь для градиентно-подобных потоков
на ориентируемых поверхностях. Целью данного исследования было обобщение гра-
фа Вонга на случай произвольных замкнутых поверхностей. В работе вводится новый
инвариант – обобщённый граф Вонга. Посредством обобщённого графа Вонга получе-
на топологическая классификация градиентно-подобных потоков на произвольных по-
верхностях, т. е. с добавлением неориентируемого случая; в т. ч. выполнена реализация
обобщённого графа Вонга стандартным потоком Морса на поверхности. Для получения
всех результатов используется конструктивный метод: для доказательства классифи-
кационной теоремы строится гомеоморфизм, отображающий области с одинаковым по-
ведением траекторий друг в друга, а граф позволяет установить верное расположение
таких областей друг относительно друга. Для доказательства теоремы реализации так-
же используется конструктивный метод: по графу строится стандартный поток, топо-
логически сопряжённый каждому потоку, которому соответствует данный граф. Таким
образом, в работе построена полная топологическая классификация потоков Морса на
поверхностях посредством инварианта, в некоторых отношениях превосходящего в про-
стоте и практичности как ориентированный граф Пейшото, так и трёхцветный граф
Ошемкова-Шарко.

Ключевые слова: топологическая классификация, topological classification, gradient-like flow, градиентно-подобный поток, поток на поверхности, Morse flow, Wang's graph, surface flow, поток Морса, граф Вонга

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Теория динамических систем и ее приложения (2023)