?
О сведении проблемы топологической классификации градиентно-подобных потоков к классификации полярных потоков
В статье рассматривается класс G градиентно-подобных потоков на связных замкнутых многообразиях размерности n≥4, такой что для любого потока f^t∈G устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия размерности (n−1) не пересекаются с инвариантными многообразиями других седловых состояний равновесия. Известно, что несущее многообразие любого потока f^t из класса G раскладывается в связную сумму сферы S^n, g≥0 копий прямых произведений S^n−1×S¹ и односвязного многообразия, отличного от сферы. Число g определяется только числом узловых состояний равновесия и числом седловых состояний равновесия, одно из инвариантных многообразий которых имеет размерность (n−1) (такие состояния равновесия будем называть тривиальными седлами), а односвязное многообразие, отличное от сферы, присутствует в связной сумме тогда и только тогда, когда множество седловых состояний равновесия содержит точки, размерность неустойчивого многобразия которых принадлежит множеству {2,…,n−2} (такие состояния равновесия будем называть нетривиальными седлами). Более того, для потоков из класса G без нетривиальных седел имеется полная топологическая классификация. В настоящей работе доказывается, что для любого потока f^t∈G разбиение несущего многообразия на связную сумму можно осуществить по попарно непересекающимся гладко вложенным сферам (разбивающим сферам), не содержащим состояний равновесия потока f^t и трансверсально пересекающим его траектории. Ограничение потока f^t на дополнения до этих сфер однозначно (с точностью до топологической эквивалентности и нумерации) определяет конечный набор потоков f^t_1,…,f^t_l, заданных на компонентах связной суммы. Более того, для любого j∈{1,…,l}, множество седловых состояний равновесия потока f^t_j либо состоит только из тривиальных седел, либо только из нетривиальных, и тогда поток f^t_j является полярным. Мы вводим понятие согласованной топологической эквивалентности для потоков ft1,…f^t_l и показываем, что потоки f^t,f′^t∈G топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда для каждого из этих потоков существуют наборы разбивающих сфер, определяющих согласованно топологически эквивалентные потоки на компонентах связной суммы.