Двухцветный граф каскадов Морса-Смейла на трехмерных многообразиях

Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25. № 2. С. 37–52.

Гуревич Е. Я., Родионова Е. К.

Цель исследования — выделить класс каскадов (диффеоморфизмов) Морса-Смейла с трехмерным фазовым пространством, допускающих топологическую классификацию при помощи комбинаторных инвариантов. В общем случае препятствием к такой классификации является возможность дикого вложения замыканий сепаратрис в объемлющее многообразие, приводящая к счетному множеству топологически неэквивалентных систем уже в классе каскадов Морса-Смейла, имеющих всего одну седловую неподвижную точку. Для решения поставленной проблемы несущее многообразие диффеоморфизма представляется в виде объединения трех попарно непересекающихся множеств: связных аттрактора и репеллера, размерность которых не превышает единицы, и дополнения к ним, состоящего из блуждающих точек диффеоморфизма, названного характеристическим множеством. Известно, что топология пространства орбит ограничения диффеоморфизма Морса-Смейла на характеристическое множество и вложения в него проекций двумерных сепаратрис является полным топологическим инвариантом для диффеоморфизмов Морса-Смейла на трехмерных многообразиях. Кроме того, ранее описаны свойства пространства орбит, необходимые и достаточные для включения диффеоморфизма Морса-Смейла в топологический поток. Эти результаты используются в настоящей работе, чтобы показать, что классы топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла, включающихся в топологический поток и не имеющих гетероклинических кривых, допускают комбинаторное описание. Более точно, в работе рассмотрен класс диффеоморфизмов Морса-Смейла без гетероклинических пересечений, заданных на замкнутых трехмерных многообразиях, включающихся в топологические потоки и не имеющие гетероклинических кривых. Каждому диффеоморфизму из этого класса поставлен в соответствие двухцветный граф, описывающий взаимное расположение двумерных сепаратрис седловых периодических точек. Доказано, что существование изоморфизма двухцветных графов, сохраняющего цвет ребер, является необходимым и достаточным условием топологической сопряженности каскадов. Показано, что скорость алгоритма, различающего двухцветные графы, полиномиально зависит от числа его вершин. Описан алгоритм построения представителя каждого класса топологической сопряженности.

Ключевые слова: топологическая классификация, Каскады Морса-Смейла

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Динамические системы с многомерным фазовым пространством: от регулярной динамики к хаосу (2023)