?
О топологии вещественных распадающихся кривых степеней 7 и 8
С. 423–427.
Задача о топологии неособых вещественных проективных кривых и поверхностей составляет
содержание первой части 16-й проблемы Гильберта. В первом нетривиальном случае - для кривых степени 6 - она была решена Д.А. Гудковым, который затем поставил задачу топологической классификации кривых степени 6, распадающихся в произведение двух неособых сомножителей. Эта задача (при естественных условиях максимальности и общего положения кривых-сомножителей) была решена Г.М. Полотовским. Затем, в работах (индивидуальных и в соавторстве) А.А. Бинштейн, М.А. Гущина, А.Н. Коробейникова, А.Б. Корчагина, С.Ю. Оревкова, Г.М. Полотовского, С. Фидлер-Ле Туз, Е.И. Шустина было предпринято исследование аналогичного вопроса для кривых степени 7, которое в настоящее время почти завершено. Изучапся также сучай, когда число сомножителей больше двух: для степени 6 рассмотрены все варианты наборов степеней сомножителей, а для степени 7 найдена классификация взаимных расположений двух прямых и М-квинтики. В настоящем докладе излагаются новые результаты о топологии кривых степени 8, распадающихся на два неособых сомножителя, и о кривых степени 7, распадающихся на три неособых сомножителя.
В книге
Тула: ТГПУ, 2020.
Галкин В. Д., Починка О. В., Успехи математических наук 2026 Т. 81 № 2(422) С. 71–144
Настоящая работа посвящена изучению динамики регулярных четырехмерных потоков, их топологической классификации и взаимосвязи с топологией несущего многообразия. Регулярные потоки являются топологическими аналогами потоков Морса–Смейла. Их появление мотивировано двумя фактами: 1) существованием топологических многообразий размерности 4 и выше, не имеющих гладкой структуры; 2) развитием методов топологической классификации гладких систем, использующих чисто топологические свойства этих систем и ...
Добавлено: 1 апреля 2026 г.
Починка О. В., Чилина Е. Е., Математический сборник 2026 Т. 217 № 3 С. 112–134
Работа посвящена исследованию сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов трехмерных многообразий с неблуждающим множеством, состоящим из конечного числа двумерных аттракторов и репеллеров, каждый из которых является дизъюнктным объединением цилиндрически вложенных замкнутых поверхностей, ограничение некоторой степени на каждую из которых топологически сопряжено сохраняющему ориентацию псевдоаносовскому гомеоморфизму. Получена топологическая классификация модельных гомеоморфизмов, реализованных на каждом многообразии, допускающем гомеоморфизмы исследуемого класса. Доказано, ...
Добавлено: 3 марта 2026 г.
Мартынов Т. Д., Починка О. В., Чилина Е. Е., Математика и теоретические компьютерные науки 2025 Т. 3 № 3 С. 87–109
Согласно Я. Нильсену и Х. Хангу, каждый класс топологической сопряженности периодических гомеоморфизмов ориентируемых компактных поверхностей полностью описывается конечным набором данных, называемых характеристикой. Для двумерной сферы исчерпывающие классификационные результаты с построением линейных представителей в каждом классе сопряженности получены Б. Керекьярто. Для двумерного тора подобные результаты получены при участии авторов настоящей статьи. В данной работе найдены все ...
Добавлено: 18 октября 2025 г.
Гуревич Е. Я., Математика и теоретические компьютерные науки 2025 Т. 3 № 3 С. 20–42
Получена топологическая классификация гладких структурно устойчивых потоков на четырехмерных замкнутых многообразиях, блуждающее множество которых содержит изолированные траектории, соединяющие седловые состояния равновесия (гетероклинические кривые). Из соображений размерности гетероклинические кривые таких потоков принадлежат пересечению инвариантных многообразий седел соседних индексов Морса. Мы предполагаем, что неблуждающее множество рассматриваемых потоков состоит в точности из одного источника, одного стока и произвольного ...
Добавлено: 18 октября 2025 г.
Галкин В. Д., Починка О. В., Математические заметки 2025 Т. 117 № 6 С. 861–878
Под регулярным топологическим потоком на замкнутом nn-многообразии понимается поток, цепно рекуррентное множество которого состоит из конечного числа топологически гиперболических неподвижных точек и периодических орбит. Такой поток называется неособым, если его цепно рекуррентное множество не содержит неподвижных точек. Топологической эквивалентности маломерных неособых потоков в предположениях различной общности посвящен целый ряд работ. Начиная с размерности 4 имеется пока незначительное число ...
Добавлено: 2 июня 2025 г.
Elena Ya. Gurevich, Ilya A. Saraev, Regular and Chaotic Dynamics 2025 Vol. 30 No. 2 P. 254–278
S.~Smale has shown that any closed smooth manifold admits a gradient-like flow, which is a structurally stable flow with a finite non-wandering set. Polar flows are a specific type of gradient-like flows characterized by the simplest non-wandering set for the given manifold, consisting of exactly one source, one sink, and a finite number of saddle ...
Добавлено: 21 ноября 2024 г.
Гуревич Е. Я., Сараев И. А., Математические заметки 2024 Т. 116 № 1 С. 45–66
В работе решается проблема топологической классификации полярных потоков на замкнутых четырехмерных многообразиях, множество седловых состояний равновесия которых состоит только из точек, имеющих двумерные устойчивые и неустойчивые многообразия. Показывается, что полным топологическим инвариантом для таких потоков является диаграмма Кирби, представляющая собой оснащенное зацепление на сфере, секущей к траекториям потока. ...
Добавлено: 1 июля 2024 г.
E.Y. Gurevich, I.A. Saraev, Partial Differential Equations in Applied Mathematics 2024 Vol. 11 Article 100759
Добавлено: 22 июня 2024 г.
Горская В. А., В кн.: Математика в современном мире: Материалы II Всероссийской конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения видного российского математика Д.А. Граве.: Вологда: Вологодский государственный университет, 2023. С. 62–64.
В настоящей работе продолжается исследование вещественных алгебраических кривых, распадающихся в произведение двух неособых кривых степени 2 и неособой кривой степени 3, начатое в работах [4], [5]. Автор благодарит Г.М. Полотовского за предложенную задачу и полезные обсуждения. ...
Добавлено: 10 мая 2024 г.
Морозов А. И., Починка О. В., Moscow Mathematical Journal 2023 Vol. 23 No. 4 P. 571–590
В данной статье мы рассматриваем сохраняющие ориентацию диффеоморфизмы Морса–Смейла на ориентируемых замкнутых поверхностях. Такие диффеоморфизмы могут иметь бесконечное число гетероклинических орбит, что сильно затрудняет их топологическую классификацию. Фактически, даже в случае конечного числа гетероклинических орбит исчерпывающих результатов классификации не существует. Основная проблема состоит в том, что для всех известных на данный момент полных топологических инвариантов ...
Добавлено: 29 ноября 2023 г.
Borisov I. M., G. M. Polotovsky, Journal of Mathematical Sciences 2023 Vol. 275 No. 5 P. 525–540
Добавлено: 1 ноября 2023 г.
Круглов В. Е., Рекшинский М. С., Журнал Средневолжского математического общества 2023 Т. 25 № 3 С. 123–149
Настоящая работа посвящена градиентно-подобным потокам на поверхностях, представляющих из себя потоки Морса-Смейла без предельных циклов, и их
топологической классификации с точностью до топологической сопряжённости. Такие
потоки, называемые иначе потоками Морса, были неоднократно классифицированы посредством различных топологических инвариантов. Одним из таких инвариантов является двуцветный граф К. Вонга, действующий лишь для градиентно-подобных потоков
на ориентируемых поверхностях. Целью данного исследования было ...
Добавлено: 26 сентября 2023 г.
Гуревич Е. Я., Родионова Е. К., Журнал Средневолжского математического общества 2023 Т. 25 № 2 С. 37–52
Цель исследования — выделить класс каскадов (диффеоморфизмов) Морса-Смейла с трехмерным фазовым пространством, допускающих топологическую классификацию при помощи комбинаторных инвариантов. В общем случае препятствием к такой классификации является возможность дикого вложения замыканий сепаратрис в объемлющее многообразие, приводящая к счетному множеству топологически неэквивалентных систем уже в классе каскадов Морса-Смейла, имеющих всего одну седловую неподвижную точку. Для решения ...
Добавлено: 15 августа 2023 г.
Сараев И. А., Журнал Средневолжского математического общества 2023 Т. 25 № 2 С. 62–75
В статье рассматривается класс G градиентно-подобных потоков на связных замкнутых многообразиях размерности n≥4, такой что для любого потока f^t∈G устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия размерности (n−1) не пересекаются с инвариантными многообразиями других седловых состояний равновесия. Известно, что несущее многообразие любого потока f^t из класса G раскладывается в связную сумму сферы S^n, g≥0 копий ...
Добавлено: 11 июля 2023 г.
Горская В. А., Чебышевский сборник 2022 Т. 23 № 3 С. 61–76
Задача топологической классификации вещественных алгебраических кривых является классической задачей фундаментальной математики, берущей своё начало фактически у истоков математики. Особую известность и современную формулировку задача приобрела после того, как в 1900 году Д. Гильберт включил её в свой знаменитый список математических проблем под номером 16. Это была задача о классификации кривых шестой степени, которую в 1969 ...
Добавлено: 13 мая 2023 г.
A. L. Dobrolyubova, V. E. Kruglov, O. V. Pochinka, Journal of Mathematical Sciences 2023 Vol. 269 No. 2 P. 165–172
Добавлено: 18 февраля 2023 г.
Полотовский Г. М., В кн.: Вторая конференция математических центров России, 7–11 ноября 2022 г. Сборник тезисов.: М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2022. С. 180–182.
Рассматривается относящаяся по тематике к первой части 16-й проблемы Гильберта задача изотопической классификации плоских вещественных алгебраических кривых, распадающихся на несколько неприводимых сомножителей. Даётся обзор результатов о кривых степени 7, распадающихся на три сомножителя, и о кривых степени 8, распадающихся на 2 сомножителя, полученных в последние три года. ...
Добавлено: 31 января 2023 г.
Починка О. В., Шубин Д. Д., / Series math "arxiv.org". 2022.
В настоящей работе рассмотрены неособые потоки Морса-Смейла на замкнутых ориентируемых 3-многообразиях, в предположении, что среди периодических орбит потока только одна седловая и она скручена. Получено исчерпывающее описание топологии таких многообразий. Именно, установлено, что любое многообразие, допускающее такие потоки является либо линзовым пространством, либо связной суммой линзового пространства с проективным пространством, либо многообразиями Зейферта с ...
Добавлено: 30 января 2023 г.
Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2022.
Системы Морса\,--\,Смейла~--- это структурно устойчивые (грубые) динамические
системы на многообразиях с неблуждающим множеством, состоящим из конечного
числа орбит. Класс грубых систем был введен в классической работе
А.\,А.\,Андронова и Л.\,С.\,Понтрягина в 1937 году при изучении систем двух
дифференциальных уравнений, заданных в ограниченной части плоскости. В том
же году в работе Е.\,А.\,Леонтович-Андроновой и А.\,Г.\,Майера была поставлена
проблема классификации таких ...
Добавлено: 27 декабря 2022 г.
Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Математический сборник 2023 Т. 214 № 5 С. 97–127
В работе получены необходимые и досточные условия топологической эквивалентности градиентно-подобных потоков без гетероклинических пересечений, заданных на связной сумме конечного числа многообразий, гомеоморфных $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$, $n\geq 3$. Для случая $n>3$ этот результат существенно расширяет класс многообразий, для которых известна топологическая классификация заданных на них структурно устойчивых систем. ...
Добавлено: 11 декабря 2022 г.