Пространственная дискретизация одномерных квазигазодинамических систем уравнений и уравнения баланса энтропии и энергии

Доклады Академии наук. 2012. Т. 445. № 2. С. 127-131.

Злотник А. А.

Квазигазодинамические (КГД) системы уравнений являются основой для построения класса разностных методов решения задач газовой динамики. Вопросы теории КГД систем, построение разностных методов и разнообразные приложения подробно представлены в нескольких недавних монографиях. Для стандартной дискретизации КГД системы в пространственно одномерном случае (n=1) выполнено подробное тестирование, наглядно демонстрирующее ее хорошие свойства.

Принципиально, что для КГД системы уравнений справедлив закон неубывания полной энтропии. В теоретическом плане представляет интерес строгое обоснование этого закона не только для самой КГД системы, но и для ее дискретизаций. К сожалению, для стандартных дискретизаций этого сделать не удается из-за появления сеточных незнакоопределенных дисбалансов.

В работе, во-первых, при n=1 предлагается новая консервативная симметричная трехточечная дискретизация по пространству, для которой уравнение баланса энтропии имеет надлежащий вид и производство энтропии неотрицательно. Для этого, в частности, строятся нелинейные "логарифмические" усреднения плотности и внутренней энергии.

Для баротропной КГД системы уравнений справедлив закон невозрастания полной энергии. Но для стандартных дискретизаций такой системы даже при n=1 выполнение этого закона обеспечить опять-таки не удается. В работе, во-вторых, предлагается новая консервативная симметричная трехточечная дискретизация по пространству этой системы, для которой уравнение энергетического баланса имеет надлежащий вид и полная энергия не возрастает (в том числе при наличии потенциальной массовой силы). Для этого строятся нестандартное усреднение плотности, зависящее от функции состояния, и нестандартная дискретизация производной этой функции. Как важный частный случай, эти результаты верны для квазигазодинамической системы уравнений мелкой воды в общем случае неровного дна.

Все результаты справедливы при произвольной неравномерной сетке.

Работа выполнена при финансовой поддержке
программы "Научный фонд НИУ ВШЭ" в 2012-2013 гг., проект 11-01-0051.

Ключевые слова: газовая динамика, квазигазодинамическая система уравнений, уравнение баланса энтропии, баротропная квазигазодинамическая система уравнений, уравнение баланса энергии, пространственная дискретизация, математические модели газовой динамики, численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений