?
Determination of the homotopy type of a Morse-Smale diffeomorphism on a 2-torus by heteroclinic intersection
Согласно классификации Нильсена-Терстона множество гомотопических классов сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов ориентируемых поверхностей разбивается на четыре непересекающихся подмножества. Каждый тип определяются содержанием в классе гомеоморфизма одного из следующих типов: T1) периодический гомеоморфизм;
T2) приводимый непериодический
гомеоморфизм алгебраически конечного типа;
T3) приводимый гомеоморфизм, не являющийся гомеоморфизмом алгебраически конечного типа;
T4) псевдоаносовский гомеоморфизм. Представители классов T1,T2,T3,T4, описанные выше, называются каноническими формами Терстона и являются структурно неустойчивыми. Известно, что на двумерном торе существуют гомеоморфизмы только трех типов T1,T2,T4. При этом все представители класса T4 имеют хаотическую динамику, тогда как в каждом гомотопическом классе типов T1 и T2 существуют регулярные диффеоморфизмы, в частности диффеоморфизмы Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит.
Автором найден критерий, позволяющий однозначно определить гомотопический тип диффеоморфизма Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит на двумерном торе. Для этого все гетероклинические области такого диффеоморфизма поделены на тривиальные (содержащиеся в диске) и нетривиальные. Доказано, что диффеоморфизмы Морса-Смейла, содержащие гетероклинические орбиты только в тривиальных гетероклинических областях изотопически эквивалентны диффеоморфизмам Морса-Смейла без гетероклинических орбит и, соответственно, принадлежат первому типу Нильсена-Терстона T1. Пространство орбит нетривиальных гетероклинических областей состоит из конечного числа двумерных торов, куда седловые сепаратрисы, участвующие в гетероклинических пересечениях проектируются как трансверсально пересекающиеся узлы.
Доказано, что принадлежность типам T1 или T2 однозначно определяется суммарным индексом пересечения таких узлов.