Зацепление как полный инвариант 3-диффеоморфизмов Морса-Смейла

Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25. № 1. С. 531–541.

Ноздринов А. А., Починка А. И.

. В настоящей работе рассматриваются градиентно-подобные диффеоморфизмы Морса-Смейла, заданные на трехмерной сфере S 3 . Для таких диффеоморфизмов полный инвариант топологической сопряженности получен в работах Х. Бонатти, В. Гринеса, В. Медведева, Е. Пеку. Он представляет собой класс эквивалентности набора гомотопически нетривиально вложенных торов и бутылок Клейна, вложенных в некоторое замкнутое 3-многообразие, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу Z. Такой инвариант называется схемой градиентно-подобного диффеоморфизма f : S 3 → S 3 . Авторами настоящего исследования выделен класс G диффеоморфизмов, для которых полным инвариантом является более простой с топологической точки зрения объект, а именно зацепление существенных узлов в многообразии S 2 × S 1 . Рассматриваемые диффеоморфизмы определяются тем, что их неблуждающее множество содержит единственный источник, а замыкания устойчивых многообразий седловых точек ограничивают трехмерные шары с попарно не пересекающимися внутренностями. Доказано, что в дополнении к замыканию этих шаров диффеоморфизм класса G содержит в точности одну неблуждающую точку, которая является неподвижным стоком. Установлено, что полным инвариантом топологической сопряженности диффеоморфизмов класса G является пространство орбит неустойчивых седловых сепаратрис в бассейне этого стока. Показано, что пространство орбит представляет собой зацепление нестягиваемых узлов в многообразии S 2 × S 1 и эквивалентность зацеплений равносильна эквивалентности схем. Также приведена реализация диффеоморфизмов рассмотренного класса по произвольному зацеплению, состоящему из существенных узлов в многообразии S 2 × S 1 .

Ключевые слова: инвариант, узел, invariant, диффеоморфизм Морса-Смейла, топологическая сопряженность, topological conjugacy, Morse-Smale diffeomorphism, knot, зацепление, Link

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Теория динамических систем и ее приложения (2023)