Determination of the Homotopy Type of a Morse-Smale Diffeomorphism on an Orientable Surface by a Heteroclinic Intersection

Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2023. Vol. 22. No. 3. Article 120.

Гринес В. З., Морозов А. И., Починка О. В.

Настоящая работа посвящена изучению гомотопических типов сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла на замкнутых ориентируемых поверхностях. Поскольку любой диффеоморфизм Морса-Смейла имеет конечное множество периодических точек, то, согласно классификации Нильсена-Тёрстона, он гомотопен либо периодическому гомеоморфизму, либо гомеоморфизму алгебраически конечного порядка. Из результатов В. Гринеса и А. Безденежных следует, что любой градиентоподобный диффеоморфизм гомотопен периодическому гомеоморфизму. Однако если блуждающее множество данного диффеоморфизма содержит гетероклинические пересечения, то вопрос о его гомотопическом типе остается открытым. В настоящей работе предлагается алгоритм распознавания гомотопического типа неградиентноподобного диффеоморфизма Морса-Смейла по его гетероклиническому пересечению. Алгоритм основан на построении фильтрации для диффеоморфизма и вычислении индекса пересечения седловых сепаратрис в фундаментальных кольцах элементов фильтрации. Установлено, что диффеоморфизм Морса-Смейла гомотопен периодическому гомеоморфизму тогда и только тогда, когда суммарный индекс пересечения по всем гомотопическим кольцам равен нулю.

Ключевые слова: Homotopy types, диффеоморфизмы Морса-Смейла, Morse-Smale diffeomorphisms, Nielsen-Thurston theory, теория Нильсена-Терстона, homotopy classes of maps of the torus, гомотопические классы, гомотопические типы