?
О логарифмической гёльдеровости и локальных экстремумах степенных функций Такаги
Работа посвящена изучению одного класса вещественных функций, которые мы называем степенными функциями Такаги. Такие функции имеют один положительный вещественный параметр, являются непрерывными, но нигде не дифференцируемыми, и задаются на числовой прямой с помощью функционального ряда. Эти ряды аналогичны ряду, задающему непрерывную, нигде не дифференцируемую функцию Такаги, описанную в 1903 г. При каждом значении параметра выведено функциональное уравнение для функций, связанных со степенными функциями Такаги. Затем с помощью этого уравнения получена точная двусторонняя оценка для изучаемых функций. Доказано, что при значениях параметра, не превосходящих 1, степенные функции Такаги удовлетворяет логарифмическому условию Гёльдера, и найдено наименьшее значение константы в этом условии. В результате получено обычное условие Гёльдера, которое вытекает из логарифмического условия Гёльдера. Более того, при значениях параметра, лежащих в пределах от 0 до 1, исследовано поведение степенных функций Такаги в окрестности точек их глобального максимума. Доказано, что в двоично-рациональных точках, и только в них, изучаемые функции достигают строгого локального минимума на числовой оси. В завершение описано множество точек, в которых функции достигают строгого локального максимума. Преимущество нашего исследования состоит в развитии ряда методов, применимых к непрерывным, нигде не дифференцируемым функциям. Это может позволить значительно расширить множество изучаемых функций