Приближение полиномами от двояко-периодических функций Вейерштрасса в LP метрике на дизъюнктных отрезках

Записки научных семинаров ПОМИ РАН. 2023. Т. 527. С. 242–255.

Шагай М. А., Широков Н. А.

 

Пусть sk, 1⩽k⩽m, m⩾2, – попарно дизъюнктные отрезки, лежащие в параллелограмме Q. Обозначим через ℘(z) двояко-периодическую функцию Вейерштрасса с фундаментальным параллелограммом Q. Пусть fk – функции, заданные на sk, такие, что f′k∈Lpk(sk), 1<pk<∞, 1⩽k⩽m. Обозначим через G(z) функцию Грина области C∖∪k=1msk с полюсом в бесконечности и положим

Lh=def{ζ:ζ∈C∖∪k=1msk, G(ζ)=log(1+h)},  h>0;  ρh(ζ)=defdist(ζ,Lh).

Мы доказываем следующее утверждение.
Теорема. Существуют полиномы Pn(u,v), degPn⩽n,n=1,2,…, такие, что

∑k=1m∫sk∣∣∣∣fk(ζ)−Pn(℘(ζ),℘′(ζ))ρ1n(ζ)∣∣∣∣pk|dζ|⩽c.

Ключевые слова: аппроксимация, approximation, полиномы, polynomials, Weierstrass doubly periodic functions, двояко-периодическая функция Вейерштрасса