Мультипликативная полиномиальная аппроксимация

Записки научных семинаров ПОМИ РАН. 2025. № 545. С. 157–167.

Медведев А. Н., Широков Н. А.

Пусть D – ограниченная область на комплексной плоскости C, граница которой достаточно гладкая, а именно, угол наклона касательной к границе относительно оси x удовлетворяет условию Гёльдера с каким-то показателем относительно длины дуги границы. Обозначим через Λα(¯¯¯¯D), 0<α<1, класс функций, аналитичных в D и удовлетворяющих в ¯¯¯¯D условию Гёльдера порядка α.
Для функций f∈Λα(¯¯¯¯D) справедлива факторизация на внутренний и внешний сомножители, f=FI, где внешняя функция F определена через значения |f| на границе ∂D, а для внутренней функции I справедливо соотношение |I(z)|=1 для п.в. z∈∂D.
Доказана следующая теорема.
Теорема Пусть f∈Λα(¯¯¯¯D), f=F⋅I, где I — внутренняя, а F — внешняя функции в D. Для всякого n∈N существуют полиномы Pn, qn степени не выше n со следующими свойствами.
Существуют постоянные cf,1 и cf,2 такие, что при z∈∂D справедливы соотношения
|f(z)−Pn(z)qn(z)|≤cf,1⋅n−α, |F(z)−Pn(z)|≤cf,2⋅n−α,
существует постоянная cD такая, что для всякого z∈D выполняется оценка
|qn(z)|≤cD,
и при z∈D имеет выполняется соотношение
qn(z)−−−→n→∞I(z).

Ключевые слова: аппроксимация, approximation, полиномы, polynomials, Hölder classes, классы Гёльдера, domains with smooth boundaries, области с гладкой границей