Критерий существования энергетической функции у регулярного гомеоморфизма 3-сферы

Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2023. Т. 321. С. 45–61.

Баринова М. К., Гринес В. З., Починка О. В.

Фундаментальная теорема теории динамических систем, доказанная Ч. Конли, устанавливает факт существования непрерывной функции Ляпунова для любой динамической системы, в том числе и не гладкой (т.е. для непрерывного потока или дискретной динамической системы, порожденной гомеоморфизмом). Функция Ляпунова строго убывает вдоль траекторий динамической системы вне цепно рекуррентного множества и является константой на цепной компоненте. Наиболее тесную связь с динамикой имеет энергетическая функция — функция Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с цепно рекуррентным множеством динамической системы. Известно, что не все динамические системы обладают энергетической функцией. В частности, согласно Д. Пикстону даже структурно устойчивые диффеоморфизмы с неблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек, могут не иметь гладкой энергетической функции. Основным результатом работы является доказательство критерия существования непрерывной энергетической функции Морса для регулярных гомеоморфизмов 3-сферы, согласно которому существование такой функции равносильно асимптотической тривиальности одномерных седловых многообразий. Полученный критерий обобщает результаты В.З. Гринеса, Ф. Лауденбаха, О.В. Починки для 3-диффеоморфизмов Морса–Смейла в случае, когда несущее многообразие является трехмерной сферой. Из полученного критерия следует, в частности, что примеры Пикстона не обладают и непрерывной энергетической функцией.

Ключевые слова: энергетическая функция, energy function, дикое вложение, wild embedding, regular homeomorphism, регулярный гомеоморфизм

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Теория динамических систем и ее приложения (2023)