Обобщение одной теоремы И. И. Привалова

Записки научных семинаров ПОМИ РАН. 2025. № 545. С. 145–156.

Колпаков А. С., Широков Н. А.

Пусть E⊂C− компакт. Множество E называется множеством Альфорса–Давида размерности θ, 0<θ<2, если для любой точки z∈E и круга ¯¯¯¯Br(z)def={ζ: |ζ−z|⩽r} при 0<r<diamE с некоторыми постоянными C1>0, C2>0, не зависящими от z и r, выполнены соотношения
C1rθ≤Λθ(E∩¯¯¯¯Br(z))≤C2rθ.(1)
В соотношении (1) Λθ(S) – θ-мера Хаусдорфа множества S. В работе доказано следующее утверждение. Пусть Γ− замкнутая жорданова кривая, являющаяся множеством Альфорса–Давида размерности 1+α, 0<α<1, α<β<1, D− внутренняя область, ограниченная кривой Γ, G− внешняя область. Через Hβ(Γ) обозначим пространство комплекснозначных функций, определенных на Γ и удовлетворяющих условию Гёльдера порядка β, Hβ(¯¯¯¯¯D)− пространство функций, аналитических в D и удовлетворяющих в ¯¯¯¯¯D условию Гёльдера порядка β, Hβ(¯¯¯¯G)− пространство функций, аналитических в G, обращающихся в ноль на бесконечности и удовлетворяющих в ¯¯¯¯G условию Гёльдера порядка β. Доказано следующее утверждение.
Теорема. Пусть f∈Hβ(Γ). Тогда существуют функции g∈Hβ(¯¯¯¯¯D) и h∈Hβ(¯¯¯¯G) такие, что при z∈Γ справедливо равенство
f(z)=g(z)+h(z).

Ключевые слова: analytic functions, Hölder classes, аналитические функции, the Ahlfors–David condition, классы Гёльдера, условие Альфорса–Давида