Устанавливается, что граф Пейкшото является полным инвариантом топологической сопряженности в классе сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов G1(Mn) Морса–Смейла, заданных на замкнутом ориентируемом многообразии Mn размерности, большей трех, и таких, что для любого f∈G1(Mn) множество неустойчивых сепаратрис одномерно и не содержит гетероклинических орбит.
Изучен класс G1(Mn) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса–Смейла, заданных на замкнутом ориентируемом многообразии Mn размерности n>3, таких, что для любого f∈G1(Mn) множество неустойчивых сепаратрис одномерно и не содержит гетероклинических пересечений. Для диффеоморфизмов из класса G1(Mn) доказано, что полным топологическим инвариантом является граф Пейкшото (оснащенный автоморфизмом), и для каждого класса топологически сопряженных диффеоморфизмов построен стандартный представитель.
Рассматривается относящаяся по тематике к первой части 16-й проблемы Гильбер- та задача изотопической классификации плоских вещественных алгебраических кри- вых, распадающихся на несколько неприводимых сомножителей. Даётся обзор полу- ченных авторами в последние два года результатов о кривых степени 7, распадаю- щихся на три сомножителя, и о кривых степени 8, распадающихся на 2 сомножителя.
Работа является продолжением работы [#!gurevich-GrPoSaRu!#] и посвящена топологической классификации градиентно-подобных потоков, заданных на гладком замкнутом ориентируемом многообразии M n размерности n>3, с использованием энергетической функции. Рассмотрен класс G(M n)градиентно-подобных потоков без гетероклинических пересечений, все седловые состояния равновесия которых имеют индекс Морса 1 или (n-1). Показано, что необходимое и достаточное условие топологической эквивалентности потоков из класса G(M n) состоит в эквивалентности соответствующих энергетических функций и одновременном выполнении специального условия эквивалентности функций на выделенной поверхности уровня. Выделен класс потоков G 0(M n), для которых энергетическая функция является полным топологическим инвариантом. Результаты работы могут быть применены для качественного изучения динамики таких структурно-устойчивых динамических систем, для которых энергетическая функция известна из физического контекста модели (например, как функция энергии для диссипативных систем в механике, потенциал электростатического поля, или, при условии пренебрежения электрическими токами, как потенциал магнитного поля).
В работе уточняются результаты работы [7] С. Баттерсона, в которой описаны классы изотопных отображений тора, содержащие диффеоморфизмы Морса-Смейла. Следуя идеям, изложенным в [7], мы описываем изотопические классы, содержащие градиентно-подобные диффеоморфизмы тора, приводим все возможные виды наборов периодических данных таких диффеоморфизмов и описывается алгоритм реализации каждого набора.
Для потоков Морса-Смейла на поверхностях вводится понятие согласованной эквивалентности \xi-функций Мейера (являющихся функциями Ляпунова) и доказывается, что согласованная эквивалентность $\xi$-функций является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности таких потоков. Предлагаемый результат устраняет неточность в доказательстве аналогичного факта К. Мейером.