Пространственная динамика в семействе дифференциальных уравнений шестого порядка из теории структурообразования

Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2024. Т. 32. № 6. С. 878–896.

Кулагин Н. Е., Лерман Л.М.

Изучаются ограниченные стационарные (то есть не зависящие от времени) пространственно-одномерные решения квазилинейного параболического уравнения с частными производными, рассматриваемого на всей числовой прямой. Его стационарные решения описываются нелинейным дифференциальным уравнением
6-го порядка, имеющим тип уравнения Эйлера–Лагранжа–Пуассона, и поэтому приводимого к гамильтоновой
системе с тремя степенями свободы, которая также обратима относительно двух линейных инволюций. Система имеет три симметричных состояния равновесия, два из которых являются гиперболическими в некоторой области значений параметров. Цель работы. В работе, комбинируя методы теории динамических систем и численные методы, исследуется поведение траекторий в окрестности симметричного гетероклинического контура, основанного на этих состояниях равновесия, показано существование как простых траекторий (периодических), так и траекторий со сложным поведением. Для этого, в частности, используется теорема о глобальном инвариантном многообразии для гетероклинического контура. Для симметричного состояния равновесия в начале координат найдена область параметров, где оно является седло-фокус-центром, показано существование гомоклинических траекторий этого состояния равновесия, долго-периодических траекторий в их окрестности, а также траекторий со сложным поведением. 

Ключевые слова: гомоклиническая траектория, стационарные решения, гамильтонова система, гетероклинический контур, равнение Эйлера–Лагранжа–Пуассона,, седло-фокус-центр, глобальное центральное многообразие, сложная динамика.

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Развитие аналитических и численных методов исследования многомерных динамических систем: этап II (2024)