Модули полустабильных пучков ранга 2 на рациональных трехмерных многообразиях Фано основной серии

Математический сборник. 2024. Т. 215. № 10. С. 3–57.

Васильев Д. А., Тихомиров А. С.

В статье исследуются пространства модулей полустабильных когерентных 
пучков ранга два на проективном пространстве $\p3$ и следующих за ним
рациональных многообразиях Фано основной серии -- трехмерной квадрике 
$X_2$, пересечении двух 4-мерных квадрик $X_4$ и многоообразии Фано $X_5 
$ степени 5. Для квадрики $X_2$ доказана ограниченность третьего класса 
Черна $c_3$ полустабильных объектов ранга два, в том числе пучков, из 
$\mathrm{D}^b(X_2)$. Дано явное описание всех пространств модулей 
полустабильных пучков ранга 
два на $X_2$, в том числе рефлексивных, с максимальным третьим классом 
Черна $c_3\ge0$. Эти пространства оказываются неприводимыми гладкими
рациональными многообразиями во всех случаях, за исключением следующих 
двух: $(c_1,c_2,c_3)=(0,2,2)$ либо (0,4,8). Найден первый пример 
несвязного пространства модулей полустабильных пучков ранга два с
фиксированными классами Черна на гладком проективном многообразии -- 
это второй из указанных исключительных случаев $(c_1,c_2,c_3)= (0,4,8)$ 
на квадрике $X_2$. Построен ряд новых бесконечных серий рациональных 
компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга два на $\p3$, 
$X_2$, $X_4$ и $X_5$, а также новая бесконечная серия нерациональных 
компонент на $X_4$. Доказана ограниченность класса $c_3$ при $c_1=0$ и
любом $c_2>0$ для стабильных рефлексивных пучков основного типа на 
многообразиях $X_4$ и $X_5$.

Ключевые слова: многообразия Фано, пространства модулей пучков, стабильные пучки ранга 2

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Коммутативная, некоммутативная и мотивная алгебраическая геометрия и геометрия специальных многообразий (2024)