We prove that the bound from the theorem on 'economic' maps is best possible. Namely, for m > n + d we construct a map from an n-dimensional simplex to an m-dimensional Euclidean space for which (and for any close map) there exists a d-dimensional plane whose preimage has cardinality not less than the upper bound \(dn + n + 1)/(m - n - d)] + d from the theorem on 'economic' maps. Bibliography: 16 titles.

Изучаются пределы при $\alpha \rightarrow 0+$ долговременной динамики различных приближенных $\alpha $-моделей вязкой несжимаемой жидкости и их связь с траекторным аттрактором точной 3D системы Навье--Стокса. Рассматриваемые $\alpha $-модели разделены на два класса в зависимости от свойств ортогональности нелинейных членов уравнений, порождающих каждую конкретную $\alpha $-модель. Показано, что аттракторы $\alpha $-моделей из класса I имеют более сильные свойства притяжения своих траекторий, чем аттракторы $\alpha $-моделей класса II. Для обоих классов доказано, что ограниченные семейства траекторий рассмотренных $\alpha $-моделей сходятся в соответствующей слабой топологии к траекторному аттрактору $\mathfrak{A}_{0}$ точной 3D системы Навье--Стокса, когда время $t$ стремится к бесконечности. Кроме того установлено, что траекторный аттрактор $\mathfrak{A}_{\alpha }$ каждой $\alpha $-модели сходится в той же топологии к аттрактору $\mathfrak{A}_{0}$ при $\alpha \rightarrow 0^{+}$. Для всех $\alpha $-моделей построены минимальные пределы $\mathfrak{A}_{\mathrm{min}}\subseteq \mathfrak{A}_{0}$ их траекторных аттракторов $\mathfrak{A}_{\alpha }$ при $\alpha \rightarrow 0+.$ Доказано, что каждое такое множество $\mathfrak{A}_{\mathrm{min}}$ является компактной компонентой связности траектороного аттрактора $\mathfrak{A}_{0},$ причем все $\mathfrak{A}_{\mathrm{min}}$ строго инвариантны под действием полугруппы трансляций.  

Предложена новая логика свидетельств, связанная с логикой доказуемости Гёделя–Лёба GL, и доказана теорема о реализации логики GL в данной логике свидетельств относительно нормальных реализаций.

We prove that any G-del Pezzo threefold of degree 4, except for a one-parameter family and four distinguished cases, can be equivariantly reconstructed to the projective space ℙ3, a quadric Q ⊂ ℙ4 , a G-conic bundle or a del Pezzo fibration. We also show that one of these four distinguished varieties is birationally rigid with respect to an index 2 subgroup of its automorphism group. © 2016 Russian Academy of Sciences (DoM), London Mathematical Society, Turpion Ltd.

Continuous Morse-Smale flows on closed manifolds whose nonwandering set consists of three equilibrium positions are considered. Necessary and sufficient conditions for topological equivalence of such flows are obtained and the topological structure of the underlying manifolds is described. Bibliography: 36 titles. © 2016 Russian Academy of Sciences (DoM), London Mathematical Society, Turpion Ltd.

Изложен метод, позволяющий строить полуортогональные разложения производной категории G-эквивариантных пучков на многообразии X при условии, что производная категория пучков на X допускает полуортогональное разложение, компоненты которого сохраняются действием группы G на X. При помощи этого метода получены полуортогональные разложения эквивариантных производных категорий для расслоений на проективные пространства и для раздутий с неособым центром, а также для многообразий, обладающих полным исключительным набором, который сохраняется действием группы. В качестве основного инструмента в работе применяется теория спуска для производных категорий. Библиография: 12 названий.

Классифицируются трехмерные многообразия $\mathbb Q$-Фано с индексом Фано > 2, имеющие достаточно большую степень.

We say that a group G acts infinitely transitively on a set X if for every m ε N the induced diagonal action of G is transitive on the cartesian mth power X m\δ with the diagonals removed. We describe three classes of affine algebraic varieties such that their automorphism groups act infinitely transitively on their smooth loci. The first class consists of normal affine cones over flag varieties, the second of nondegenerate affine toric varieties, and the third of iterated suspensions over affine varieties with infinitely transitive automorphism groups. Bibliography: 42 titles.