Рациональность трехмерных многообразий Фано и зеркальная симметрия

Успехи математических наук. 2025. Т. 80. № 6(486). С. 179–180.

Ли С., В. В. Пржиялковский

Пусть X – гладкое многообразие Фано, а w : Y → A1 – компактификация Калаби–Яу его торической модели Ландау–Гинзбурга [8]. Компактификацию w : Y → A1 для краткости будем называть моделью Ландау–Гинзбурга для X. В частности, Y гладко, dim X = dim Y , морфизм w проективен, а его общий слой – гладкое проективное многообразие Калаби–Яу. Согласно зеркальной симметрии симплектические свойства модели Ландау–Гинзбурга отражают алгебраические свойства многообразия Фано, а алгебраические отражают симплектические.
Для dim X = 3 многообразию X единственным образом можно поставить в соответствие класс так называемых стандартных торических моделей Ландау–Гинзбурга. Их компактификации Калаби–Яу эквивалентны, а значит, многообразию X единственным (с точностью до флопов) образом можно поставить в соответствие стандартную модель Ландау–Гинзбурга.

Ключевые слова: многообразия Фано, гладкие многообразия

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Методы зеркальной симметрии в бирациональной геометрии, математической физике и арифметике (2025)