Соболевская регулярность транспортировки вероятностных мер и транспортные неравенства

Теория вероятностей и ее применения. 2012. Т. 57. № 2. С. 296–321.

Колесников А. В.

В работе изучаются соболевские априорные оценки для оптимальной транспортировки $T = \nabla \Phi$ вероятностных мер $\mu=e^{-V} \ dx$ и $\nu=e^{-W} \ dx$ на $\R^d$.

В предположении равномерной выпуклости потенциала $W$ в работе доказано, что величина $\int \| D^2 \Phi\|^2_{HS} \ d\mu$, где $\|\cdot\|_{HS}$ --- норма Гильберта-Шмидта,

ограничена информацией Фишера меры $\mu$.

Помимо этого доказаны близкие оценки для $L^p(\mu)$-нормы $\|D^2 \Phi\|$ и получены $L^p$-обобщения известной теоремы Каффарелли о сжатии.

Установлены соотношения между результатами настоящей статьи и транспортным неравенством Талаграна.

Также доказаны не зависящие от размерности версии данного неравенства для информации

Фишера относительно гауссовских мер.

Ключевые слова: transportation inequalities, log-concave measures, Gaussian measures, a priori estimates, Fisher information, априорные оценки, транспортные неравенства, логарифмически вогнутые меры, гауссовские меры, информация Фишера