?
Об одном обобщении преобразования Лапласа
В настоящей работе вводится и исследуется новое обобщение классического преобразования Лапласа для функционалов, заданных на пространствах целых функций многих комплексных переменных. В качестве ядра этого преобразования выбрана целая функция специального вида, которая естественным образом обобщает экспоненту и находит применение в задачах, связанных с дифференциальными уравнениями в обобщённых частных производных, а также в теории многомерных аналогов пространств Фока. Одной из ключевых задач теории функций многих комплексных переменных является описание роста целых функций. Для этого используются различные характеристики роста функций, такие как сопряженные порядки и типы, порядки
и типы по каждой переменной и др. В данной работе для функции, задающей ядро обобщенного преобразования Лапласа, вычисляются порядки и типы по каждой переменной, что позволяет охарактеризовать поведение этой функции на бесконечности.
Кроме того, в статье устанавливается изоморфизм между пространством, сопряжённым к пространству целых функций многих комплексных переменных, наделённому топологией компактной сходимости, и пространством функций, аналитических по каждой переменной вне некоторого круга. Этот результат играет важную роль в дальнейших построениях. На его основе доказывается, что введённое обобщённое преобразование
Лапласа реализует изоморфизм между пространством непрерывных линейных функционалов над пространством целых функций многих комплексных переменных и пространством целых функций с заданным порядком роста. Таким образом, предлагаемый подход открывает новые возможности для исследования функциональных пространств и их приложений к дифференциальным уравнениям.