?
Четырехмерные гиперэллиптические многообразия, определяемые векторными раскрасками простых многогранников
В торической топологии каждому простому n-мерному многограннику P с m гипергранями сопоставляется n-мерное вещественное момент-угол многообразие RZP с каноническим действием группы Zm2=(Z/2Z)m. В статье рассматриваются (не обязательно свободные) действия подгрупп H⊂Zm2 на RZP. На пространстве орбит N(P,H)=RZP/H действует факторгруппа Zm2/H. Для произвольной размерности n вводится понятие гамильтонова C(n,k)-подкомплекса в границе n-мерного многогранника P. Оно обобщает понятия гамильтонова цикла (k=2), гамильтонова тэта-подграфа (k=3) и гамильтонова K4-подграфа (k=4) в 1-остове трехмерного многогранника. Каждый C(n,k)-подкомплекс C⊂∂P отвечает подгруппе HC⊂Zm2 такой, что N(P,HC)≃Sn. Доказывается, что в размерностях n⩽4 это соответствие является биекцией. Каждая подгруппа H⊂Zm2 определяет комплекс C(P,H)⊂∂P. Доказывается, что каждый гамильтонов C(n,k)-подкомплекс C⊂C(P,H), индуцирующий подгруппу H, отвечает гиперэллиптической инволюции τC∈Zm2/H на многообразии N(P,H) (т.е. инволюции, пространство орбит которой гомеоморфно сфере Sn), а в размерностях n⩽4 это соответствие является биекцией. Доказывается, что для геометрий X=S4, S3×R, S2×S2, S2×R2, S2×L2, L2×L2 существуют компактный прямоугольный четырехмерный многогранник P и свободное действие подгруппы H такие, что многообразие N(P,H) с геометрической структурой имеет гиперэллиптическую инволюцию в Zm2/H, в то время как для геометрий X=R4, L4, L3×R, L2×R2 таких многогранников и действий не существует.