Численное решение уравнений Блэка–Шоулза и конвекции-диффузии с определением положения свободной границы

Математическое моделирование. 2026. Т. 38. № 3. С. 159–176.

Джанбекова А. Р., Шведов А. С.

Краевые задачи для уравнения Блэка–Шоулза с частными производными, описывающего стоимость финансового инструмента, могут содержать условие на свободной границе, если предусмотрена возможность раннего исполнения финансового инструмента. В настоящей статье рассматриваются краевые задачи со свободной границей для уравнения Блэка–Шоулза и уравнения конвекции-диффузии. Для уравнения конвекции-диффузии представлена разностная схема, являющаяся обобщением известной разностной схемы второго порядка точности на неподвижных сетках, а также предложен алгоритм определения положения свободной границы. Для уравнения Блэка–Шоулза, схожего с уравнением конвекции-диффузии, но более сложного, предложен новый метод численного решения, включающий, с одной стороны, модификацию разностной схемы, использовавшиеся для уравнения конвекции-диффузии и, с другой стороны, элементы метода гидродинамики сглаженных частиц (Smoothed particle hydrodynamics, SPH). Предложенный метод позволяет находить как решение, так и свободную границу, обеспечивая высокую точность. Проведены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов.

Ключевые слова: free boundary, свободная граница, разностная схема, finite difference scheme, Black–Scholes equation, convection diffusion equation, уравнение Блэка–Шоулза, уравнение конвекции-диффузии