?
On the adjacency quantization in the equation modelling the Josephson effect
Cornell University
,
2013.
No. 1301.7159.
В статье исследуется двупараметрическое семейство неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений на торе, моделирующее эффект Джозефсона из физики сверхпроводников. Изучается его число вращения как функция от параметров и языки Арнольда (иначе называемые областями фазового захвата): множества уровня числа вращения, имеющие непустую внутренность. Языки рассматриваемого уравнения обладают рядом нетипичных свойств: фазовый захват происходит только для целочисленных значений числа вращения; границы языков задаются аналитическими кривыми [6, 3], в точках пересечения которых ширина языка равна нулю (образуются перемычки). Численные эксперименты и теоретические исследования показывают, что каждый язык Арнольда образует бесконечную цепочку примыкающих друг к другу областей, разделенных перемычками и уходящих на бесконечность в асимптотически вертикальном направлении. Недавно в ходе численных экспериментов было также обнаружено, что для каждого языка Арнольда все его перемычки ложатся на одну и ту же вертикальную прямую с целочисленной абсциссой, равной соответствующему числу вращения. В статье приведено доказательство этого факта для некоторого открытого множества рассматриваемых двупараметрических семейств уравнений. В общем случае доказано более слабое утверждение: абсцисса каждой перемычки целочисленна, имеет тот же знак, что и число вращения, и по модулю не превосходит числа вращения. Доказательство основано на представлении рассматриваемых дифференциальных уравнений как проективизаций линейных дифференциальных уравнений на сфере Римана [6, 8, 12] и классической теории линейных уравнений с комплексным временем.