?
Собственные функции монодромии уравнений Гойна и границы зон фазового захвата в модели сильношунтированного эффекта Джозефсона
Изучается семейство дважды конфлюэнтных уравнений Гойна вида LE = 0, где L = L(λ,μ,n) —
семейство дифференциальных операторов второго порядка, действующих на ростки голоморф-
ных функций одной комплексной переменной. Они зависят от комплексных параметров λ, μ, n.
Ограничение семейства на область λ + μ^2>0 пространства вещественных параметров является линеаризацией семейства нелинейных уравнений на двумерном торе, модели-
рующих эффект Джозефсона в теории сверхпроводимости. Основной результат статьи дает описание тех значений λ, μ, n, b, при которых оператор монодромии соответствующего уравнения Гойна имеет собственное значение exp(2πib). Также он выделяет те значения λ, μ, n, при которых монодромия параболична, т.е.имеет кратное собственное значение. Рассматривается число вращения ρ динамической системы на двумерном торе как функция от параметров, ограниченная на поверхность λ + μ^2 = const.
Зоны фазового захвата — это ее множества уровня, имеющие непустую внутренность. Известно,
что для общих семейств динамических систем проблема описания границ зон фазового захвата
очень сложна. В настоящую работу включены результаты, полученные в данном направлении
методами комплексного анализа. В рассматриваемом случае зоны фазового захвата существуют
только при целых значениях числа вращения (эффект квантования) и дополнение к ним яв-
ляется открытым множеством. На дополнении к ним число вращения является аналитической
субмерсией, задающей его расслоение на аналитические кривые. Упомянутый выше результат
о параболичности монодромии приводит к явному описанию объединения границ зон фазового
захвата в терминах решений трансцендентного функционального уравнения. Для каждого нецелого θ
получено описание множества {ρ ≡ ±θ (mod 2Z)}.