Dominant, Weakly Stable, Uncovered Sets: Properties and Extensions

NRU Higher School of Economics , 2008. No. 3.

Субочев А. Н.

Ключевой проблемой моделирования коллективного выбора является то, что победитель Кондорсе, т.е. альтернатива более предпочтительная для коллектива, чем любая другая альтернатива при парном сравнении, в общем случае отсутствует. Поэтому с конца 70-х гг. прошлого века предпринимались попытки локализовать результат выбора в некотором всегда непустом подмножестве множества альтернатив, на котором определено отношение мажоритарного доминирования, играющее роль системы коллективных предпочтений. Предметом данной работы является сравнительный анализ основных концепций, старых и новых, предлагавшихся в качестве решений задачи коллективного выбора. Сравниваются двенадцать множеств, построенных с помощью отношения мажоритарного доминирования: ядро, пять версий непокрытого множества, две версии минимального слабоустойчивого множества, незахваченное множество, незапертое множество, минимальное недоминируемое множество и минимальное доминирующее множество. Основные результаты исследования, излагающиеся в работе, таковы. Локализовано определение минимального слабоустойчивого множества, то есть, сформулирован критерий, определяющий принадлежность альтернативы объединению минимальных слабоустойчивых множеств. С помощью этого критерия выявлена связь объединения минимальных слабоустойчивых множеств с отношением покрытия и с непокрытым множеством. Для всех рассматриваемых множеств установлено наличие или отсутствие отношения включения как в общем случае, так и для такого важного частного случая, как турниры, то есть для таких случаев, когда отношение мажоритарного доминирования на всей совокупности альтернатив представимо полным, связным, асимметричным графом. Для турниров на основе понятия устойчивости альтернативы и множества альтернатив построены обобщения непокрытого множества и слабоустойчивого множества – классы k-устойчивых альтернатив и k-устойчивых множеств. Установлено наличие отношения включения для этих классов. Построены обобщения минимального доминирующего множества и с их помощью выяснено, как устроена система доминирующих множеств в общем случае. Показано, что для турниров иерархии классов k-устойчивых альтернатив и k-устойчивых множеств в совокупности с иерархией доминирующих множеств порождают соответственно микро- и макро-структуру множества альтернатив, в основе которых лежит различие в устойчивости.

Ключевые слова: турнир, оптимальные системы, теория графов, solution concept, majority relation, tournament, matrix-vector representation, condorcet winner, top cycle, uncovered set, weakly stable set, externally stable set, uncaptured set, untrapped set, k-stable alternative, k-stable set, концепция решения, мажоритарное отношение, матрично-векторное представление, победитель Кондорсе, максимальный цикл, непокрытое множество, слабоустойчивое множество, внешнеустойчивое множество, незахваченное множество, незапертое множество, k-устойчивая альтернатива, k-устойчивое множество, моделирование процессов управления, теория полезности и принятия решений, теории организации и принятия экономических решений, принятие политических решений, математическая теория управляющих систем, формирование решений в интеллектуальной среде, модели рассуждений

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Модели принятия коллективных решений (2009)