?
Об интегрируемости динамических систем в пространстве двусторонних последовательностей
Статья посвящена анализу динамических систем в специальным образом сконструированном счётномерном фазовом пространстве, а именно, в пространстве двусторонних последовательностей. Оно является не только линейным пространством, но и банаховой алгеброй. С помощью операции умножения в этой алгебре в статье строятся два примера динамических систем в таком пространстве, допускающих исчерпывающее исследование. Одна динамическая система является сосредоточенной, то есть её динамические переменные зависят только от времени, а другая динамическая система является распределённой, то есть её динамические переменные зависят не только от времени, но и от пространственной переменной. Сосредоточенная система может быть получена двумя способами. Первый способ состоит в упрощении задачи Коши для уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова с периодическим начальным условием. Второй способ заключается в выводе эволюционного уравнения для счётномерной энергии в счётномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, являющейся нормальной формой для аналога бифуркации Андронова-Хопфа в пространстве двусторонних последовательностей. Распределённая динамическая система возникает в результате пространственной дискретизации некоторого нелинейного интегродифференциального уравнения. В данной работе общие решения задач Коши для этих динамических систем строятся с использованием метода производящих функций в форме ряда Лорана. В статье также приводятся конкретные примеры точных решений задач Коши для этих динамических систем. Показано, как по аналогии с методами цифровой обработки сигналов эти точные решения порождают счетное множество точных решений для рассматриваемых динамических систем.