?
Алгебра долей, полные двудольные графы и sl2-весовая система
В теории Васильева инварианты узлов конечного порядка описываются в терминах весовых систем – функций на хордовых диаграммах, удовлетворяющих четырехчленным соотношениям. В частности, крашеному многочлену Джонса соответствует весовая система, описываемая в терминах алгебры Ли sl2sl2. Согласно теореме Чмутова–Ландо значение этой весовой системы зависит лишь от графа пересечений хордовой диаграммы, что позволяет говорить о ее значениях на графах пересечений.
В настоящей статье мы выводим явные формулы для производящих функций для значений sl2sl2-весовой системы на полных двудольных графах и показываем с их помощью, что для полных двудольных графов и некоторого более широкого класса графов выполняется гипотеза Ландо о степени многочлена – значения sl2sl2-весовой системы на проекции на примитивные в алгебре Хопфа графов.
В основе доказательства лежат введенная нами алгебра долей и sl2sl2-весовая система на долях, тесно связанная с sl2sl2-весовой системой на хордовых диаграммах.