Characteristic Space of Orbits of Morse–Smale Diffeomorphisms on Surfaces

Moscow Mathematical Journal. 2024. Vol. 24. No. 1. P. 21–39.

Ноздринова Е. В., Починка О. В., Цаплина Е. В.

Классический подход к изучению динамических систем состоит в представлении динамики системы в виде ``источник-сток'', то есть в выделении пары аттрактор-репеллер, которые являются притягивающими и отталкивающими множествами для всех остальных траекторий системы. Если удается выбрать эту пару так, что пространство орбит в ее дополнении (характеристическое пространство орбит) является связным, то это создает предпосылки для нахождения полных топологических инвариантов динамической системы. Известно, что такая пара всегда существует для произвольных диффеоморфизмов Морса-Смейла,  заданных на любых многообразиях размерности n≥3. Тогда, как для n=2 существование связного характеристического пространства доказано лишь для сохраняющих ориентацию градиентно-подобных (без гетероклинических точек) диффеоморфизмов, заданных на   ориентируемой поверхности. В настоящей работе конструктивно показано, что нарушение хотя бы одного из перечисленных условий (отсутствие гетероклинических точек,  ориентируемость поверхности, ориентируемость диффеоморфизма) приводит к существованию диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях, не обладающих  связным характеристическим пространством орбит. 

Ключевые слова: attractor, аттрактор, диффеоморфизмы Морса-Смейла, Morse-Smale diffeomorphisms, Characteristic space of orbits, Характеристическое пространство орбит