?
Improved Algorithms for Even Factors and Square-Free Simple b-Matchings
Пусть задан орграф $G = (VG,AG)$. Четным фактором $M \subseteq AG$ называется множество ребер, образованное набором вершинно непересекающихся путей и четных циклов. Четные факторы были введены Гиленом и Каннингхемом, они обобщают т.н. path matchings в неориентированных графах. Задача нахождения четного фактора максимального размера в графе общего вида является NP-трудной, однако для класса нечетно циклически симметричных орграфов эта задача является полиномиальной. К настоящему моменту был известен лишь один комбинаторный способ ее решения, принадлежащий Папу. Этот алгоритм имеет сложность $O(n^4)$ (где $n$ обозначает число вершин в $G$, а $m$ обозначает число ребер). В данной работе мы развиваем новую технику разреженного восстановления и строим алгоритм со сложностью $O(n^3 \log n)$, находящий нечетный фактор максимального размера в нечетно циклически симметричном орграфе. Наш подход также применим к другим аналогичным задачам, например к задаче нахождения максимального простого $b$-паросочетания без квадратов.