?
Вещественно-нормированные дифференциалы: пределы на стабильных кривых
В работе исследуется поведение вещественно-нормированных (ВН) мероморфных дифференциалов на римановых поверхностях при вырождении этих поверхностей. Мы описываем все возможные пределы ВН-дифференциалов на стабильной кривой, в частности, доказываем, что вычеты в нодальных точках даются решением соответствующей задачи Кирхгофа на двойственном графе кривой. Мы также доказываем, что пределы нулей ВН-дифференциалов образуют дивизор нулей подкрученного дифференциала, представляющего собой явно описанный набор ВН-дифференциалов на неприводимых компонентах стабильной кривой с полюсами порядка выше первого в некоторых нодальных точках.
Основным техническим средством, используемым в работе, является новый метод построения дифференциалов на гладких римановых поверхностях (применяемый здесь для ВН-дифференциалов, но имеющий бо́льшую общность) в окрестности фиксированной стабильной кривой в координатах вклейки (plumbing coordinates). При этом гладкая риманова поверхность рассматривается как дополнение к окрестности нодальных точек на стабильной кривой, граничные окружности которых попарно отождествлены. Задача построения дифференциала на гладкой римановой поверхности с предписанными особенностями сводится к построению дифференциалов с заданными “скачкáми” на линиях склейки (швах). Этот аддитивный аналог задачи Римана–Гильберта решается новым методом, в котором вместо ядра Коши на гладкой римановой поверхности, полученной вклейкой, итеративно используются интегралы с ядрами Коши на неприводимых компонентах стабильной кривой. Поскольку стабильная кривая фиксирована, для построенного дифференциала можно получить явные оценки, что позволяет провести точный анализ вырождения.