Замечание о приближении тригонометрическими полиномами

Записки научных семинаров ПОМИ РАН. 2018. Т. 467. С. 238–243.

Широков Н. А.

Пусть $E=\bigcup\limits^n_{k=1}[a_k,b_k]\subset \mathbb R$; если $n>1$, предполагаем, что отрезки $[a_k,b_k]$ попарно не пересекаются. Предполагаем, что выполнено условие \begin{equation} E\cap (E+2\pi\nu)=\varnothing, \quad \nu\in \mathbb Z, \nu\ne 0. \tag{1} \end{equation} Через $H^{\omega+r}(E)$ обозначим пространство функций $f$, определенных на $E$, таких, что $|f^{(r)}(x_2)-f^{(r)}(x_1)|\leq c_f\omega (|x_2-x_1|)$, $x_1$, $x_2\in E$, $f^{(0)}\equiv f$. Предполагаем, что модуль непрерывности $\omega$ удовлетворяет условию \begin{equation} \int\limits^x_0\frac{\omega(t)}{t}\,dt +x\int\limits^{\infty}_{x}\frac{\omega(t)}{t^2}\,dt\leq c\omega(x). \tag{2} \end{equation} В заметке найдено конструктивное описание пространства $H^{\omega+r}(E)$ в терминах скорости неравномерного приближения функции \break $f\in H^{\omega+r}(E)$ тригонометрическими полиномами, если $E$ удовлетворяет условию (1), а $\omega$ удовлетворяет условию (2).

Ключевые слова: аппроксимация, классы Гёльдера, модуль непрерывности, целая функция экспоненциального типа, приближение, тригонометрические полиномы