?
Restoring indifference classes via ordinal numbers under the discrete leximin and leximax preference orderings
Упорядочение предпочтения лексимин (лексимакс) сравнивает два n-мерных вещественных вектора по правилу: вначале координаты этих векторов упорядочиваются по возрастанию (убыванию) и затем получившиесядва вектора сравниваются лексикографически. Хорошо известно, что упорядочение предпочтения лексимин (лексимакс) не представимо на R^n (какой-либо функцией полезности). В настоящей работе для целых чисел n ≥1 и m ≥ 2 рассматривается множество X всех n-мерных векторов с целыми координатами, принимающими значения между 1 и m. Снабдив X упорядочением предпочтения
лексимин (лексимакс), индуцированным из R^n и называемым пороговым (двойственным пороговым) правилом, каждому вектору из X (и его классу безразличия) канонически присваивается единственный порядковый номер таким образом, что вектор из X считается более предпочтительным в смысле лексимин
(лексимакс), если он лежит в классе безразличия с бо́льшим порядковым номером. Представлен строго обоснованный рекурсивный алгоритм для вычисления кратностей координат вектора из X на основе порядкового номера класса безразличия по отношению к рассматриваемому упорядочению, которому этот вектор принадлежит. Наш алгоритм является новым в двух аспектах: во-первых, он выявляет новые свойства классических биномиальных коэффициентов во взаимодействии с упорядочением предпочтения лексимин (лексимакс) и, во-вторых, он опирается на четыре целочисленных параметра, каждый из которых получается в результате своей индивидуальной циклической процедуры. Совместная работа этих процедур базируется на нашей основной теореме, касающейся некоторых тонких свойств функции перечисления, которая представляет упорядочение предпочтения лексимин (лексимакс) на X .