?
О расширенной модели перехода Джозефсона, линейных системах с полиномиальными решениями, детерминантных поверхностях и уравнениях Пенлеве III
Мы рассматриваем трёхпараметрическое семейство линейных дифференциаль- ных уравнений второго порядка: специальных дважды конфлюэнтных уравнений Гойна, введенных и исследованных В.М.Бухштабером и С.И.Тертычным. Оно да- ёт эквивалентное описание модели сильно шунтированного перехода Джозефсона в сверхпроводимости. В.М.Бухштабер и С.И.Тертычный показали, что множество тех комплексных значений параметров, при которых уравнение Гойна имеет по- линомиальное решение, есть объединение так называемых спектральных кривых: явно заданных алгебраических кривых в C2, занумерованных индексом l ∈ N. Как было показано автором в его совместной работе с И.В.Нетаем, каждая спек- тральная кривая неприводима в пространстве параметров уравнения Гойна (соот- ветственно, состоит из двух неприводимых компонент в пространстве параметров модели перехода Джозефсона). В той же статье И.В.Нетай представил гипотетиче- скую формулу для рода спектральных кривых, полученную им в результате чис- ленных экспериментов. Он свёл эту его гипотезу о роде к гипотезе о регулярности спектральных кривых в дополнении к подходящей координатной оси. В настоящей статье эти гипотезы И.В.Нетая о регулярности и о роде доказаны. Для доказа- тельства мы исследуем четырёхпараметрическое семейство линейных систем на сфере Римана, расширяющее семейство линейных систем, эквивалентных выше- упомянутым уравнениям Гойна. Оно эквивалентно описывает расширение модели перехода Джозефсона, введенное автором в его совместной статье с Ю.П.Бибило. Мы явно опишем так называемые детерминантные поверхности в расширенном пространстве параметров C3, занумерованные индексом l ∈ N, состоящие из ли- нейных систем с полиномиальными решениями. Спектральные кривые являются их пересечениями с гиперплоскостью, отвечающей исходной модели. Мы докажем, что каждая детерминантная поверхность регулярна вне подходящей гиперплоско- сти и состоит из двух рациональных неприводимых компонент. В доказательствах мы используем теорию явления Стокса, технику голоморфных векторных рассло- ений, слоение детерминантных поверхностей на изомонодромные семейства линей- ных систем, управляемое уравнением Пенлеве 3, и его трансверсальность исходной модели.