• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Статья

Глобальные экстремумы функции Деланжа, оценки цифровых сумм и вогнутые функции

Для всех натуральных $N$ и $q\geqslant2$ суммы $S_{q}(N)$ задаются равенством
$S_{q}(N) = s_q(1)+\ldots+s_q(N-1)$,
где $s_q(n)$ есть сумма цифр числа $n$ в~записи с основанием $q$.
В 1975 году Деланж обобщил формулу Троллопа и доказал, что
$S_{q}(N)/N - (q-1)/2\cdot\log_q{N} = -1/2\cdot f_q( q^{ \{\log_q N\}-1 } )$,
где $f_q(x) = (q-1)\log_q x + D_q(x)/x$, 
а $D_q$ --- непрерывная и нигде не дифференцируемая функция Деланжа.
Мы нашли глобальные экстремумы функции $f_q$, с помощью чего 
получили точную оценку разности $S_{q}(N)/N - (q-1)/2\cdot\log_q{N}$.
В случае $q=2$ эта оценка превращается в~оценку для двоичных сумм, 
доказанную в 2008 году Круппелем и ранее другими авторами.
Нами вычислены также глобальные экстремумы еще нескольких непрерывных,
но нигде не дифференцируемых функций.
В~работе введено понятие естественной вогнутой оболочки функции
и доказан критерий, облегчающий ее вычисление.
Кроме того, введено понятие крайнего подаргумента функции на выпуклом множестве.
Показано, что все точки глобального максимума разности $f-g$,
где функция $g$ строго вогнута и выполнены некоторые дополнительные условия,
являются крайними подаргументами для $f$.
Аналогичный результат получен и для функций вида $v + f/w$.
Мы вычислили глобальные экстремумы и нашли крайние подаргументы 
функции Деланжа на отрезке $[0;1]$.
Результаты работы проиллюстрированы графиками и таблицами.

Библиография: 16 названий.