• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Статья

О классификации гомоклинических аттракторов трехмерных потоков

Для трехмерных динамических систем с непрерывным временем (потоков) предложена классификация странных гомоклинических аттракторов, восходящая к работам С.В. Гонченко, Д.В. Тураева, А.Л. Шильникова и Л.П. Шильникова. Под гомоклиническими понимаются странные аттракторы, содержащие одно седловое состояние равновесия вместе с его неустойчивым многообразием. При этом тип такого аттрактора существенным образом определяется собственными числами состояния равновесия. Классификация гомоклинических аттракторов построена на основе бифуркационного анализа систем вида $\dot x=y+g_1(x,y,z), \dot y=z+g_2(x,y,z), \dot z=Ax+By+Cz+g_3(x,y,z), \;\; g_i(0,0,0) = (g_i)^\prime_x(0,0,0) = (g_i)^\prime_y(0,0,0) = (g_i)^\prime_z(0,0,0) = 0, \; i = 1, 2, 3$, матрица линеаризации которых представляется в форме Фробениуса, а собственные числа определяются коэффициентами $A, B$ и $C$. В пространстве параметров $A, B$ и $C$ построена расширенная бифуркационная диаграмма, на которой выделено 7 областей, отвечающих аттракторам различных типов. Отмечено, что к рассматриваемому классу систем сводится широкий класс трехмерных потоков. Также в работе обсуждаются вопросы, связанные с псевдогиперболичностью (устойчивостью хаотической динамики к изменению параметров системы) гомоклинических аттракторов трехмерных потоков. Доказано, что в трехмерных потоках псевдогиперболическими могут быть только лишь гомоклинические аттракторы двух типов: лоренцевские аттракторы, содержащие седловое состояние равновесия с двумерным устойчивым многообразием, седловая величина которого положительна; а также седловые аттракторы Шильникова, содержащие седловое состояние равновесия с двумерным неустойчивым многообразием.