Статья
Быстрый прямой алгоритм реализации метода конечных элементов высокого порядка на прямоугольниках для краевых задач для уравнения Пуассона
Представлен новый быстрый прямой алгоритм реализации метода конечных элементов (МКЭ) порядка n>=2 на прямоугольниках для решения различных краевых задач для уравнений типа Пуассона. Он обобщает хорошо известный алгоритм для случая разностных схем или билинейных КЭ (n=1), использующий версии быстрого дискретного преобразования Фурье (БДПФ). Его ядром являются быстрые прямой и обратный алгоритмы разложения по собственным векторам одномерной задачи на собственные значения для МКЭ порядка n, основанные на БДПФ. Объем арифметических действий логарифмически оптимален в теории и весьма привлекателен на практике: так, решение системы уравнений МКЭ для 2^{20} элементов при n=9 с почти 85 млн неизвестных требует всего около 3 мин на ординарном ноутбуке. Алгоритм непосредственно допускает многочисленные дальнейшие приложения - для многомерного случая, для предобуславливания систем МКЭ для общих эллиптических уравнений 2-го порядка, для неявных МКЭ для нестационарных уравнений: теплопроводности, волнового, Шрёдингера и т.д. Он легко параллелизуется.