?
Уравнения Шрёдингера на графах и сингулярных пространствах: спектральные свойства и квазиклассическая динамика локализованных пакетов
Уравнения Шрёдингера на геометрических графах изучаются, начиная с 30-х годов прошлого века; изначально они использовались в модели свободных электронов в органических молекулах. В последние тридцать лет теория дифференциальных уравнений на графах активно развивается в различных направлениях; одно из них --- обобщение уравнений Шрёдингера на так называемые декорированные графы --- пространства, получаемые из графов заменой вершин на двумерные или трехмерные поверхности. Такие объекты описывают, в частности, сложные молекулы, атомы в которых обладают внутренними степенями свободы; кроме того, пространства переменной размерности естественным образом возникают при изучении квазидвумерных структур, к которым присоединены одномерные нити (провода).
Авторы статьи, совместно с коллегами и учениками, развивали квазиклассическую теорию (то есть изучали асимптотические свойства решений уравнений Шрёдингера в квазиклассическом пределе) на графах и декорированных графах. В частности, был описан алгоритм вычисления асимптотики собственных значений оператора Шрёдингера на компактном графе, обобщающий известные правила Бора---Зоммерфельда. Квазиклассическая теория нестационарных локализованных волновых пакетов (когерентных состояний) на геометрическом графе развивалась в работах, опубликованных в отечественных и зарубежных журналах. В частности, была обнаружена связь этой теории с известными задачами аналитической теории чисел об асимптотике числа целых точек в многогранниках или о распределении абстрактных простых чисел. Для декорированных графов исследовалась структура ядра оператора Шрёдингера (то есть пространство ``вакуумных'' состояний), формулы следов и квазиклассическая асимптотика локализованных волновых пакетов.
В статье приводится обзор упомянутых выше результатов, а также некоторые новые утверждения, полученные в последнее время. В частности, один из разделов работы посвящен компьютерным экспериментам, связанным со статистикой локализованных состояний. Структура работы следующая. В п. 2 мы приводим общее определение оператора Шрёдингера на геометрическом графе и обсуждаем квазиклассические свойства собственных значений и собственных функций. В п. 3 изложены результаты, относящиеся к динамике локализованных волновых пакетов на графе; в частности, изучается статистика числа таких пакетов и устанавливается связь с упомянутыми выше вопросами теории чисел. В п. 4 определяются декорированные графы, операторы Шрёдингера на них, и формулируются теоремы о структуре ядра такого оператора, а также об асимптотике следов экспоненты и резольвенты. В п. 5 описаны начальные факты, относящиеся к динамике локализованных пакетов на декорированных графах; п. 6 посвящен компьютерному моделированию.