?
Туннельные по Маслову асимптотики и случайные блуждания на решетке с дискретным временем
В этой статье на примере случайных блужданий будет представлен метод решения параболических задач на сетке. Ввиду стохастических свойств случайных блужданий ранее полученные интерполяционные методы решения гиперболических задач (преобразование Фурье, теорема В. А. Котельникова) на сетках неприменимы. В данной статье строится формальная асимптотика фундаментального решения задачи Коши и краевых задач для параболического случайного блуждания по решетке, основанная на представлении дельта-функции Дирака в виде гауссовой экспоненты и специального разбиения единицы. Это решение удовлетворяет условиям неотрицательности и сохранения нормы. Полученное решение существует во всей области достижимости случайного блуждания в случае финитного начального условия. При этом асимптотике решения задачи Коши отвечает некомпактное лагранжево многообразие, проекция особенности которого совпадает с границей области достижимости.