Туннелирование с осциллирующим эффектом основных состояний квадратичного оператора на гиперболоиде

Математические заметки. 2024. Т. 116. № 6. С. 862–880.

Выборный Е. В., Румянцева С. В.

В работе рассматривается задача о построении квазиклассической асимптотики разности пары близких нижних энергетических уровней квадратичного оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли su(1,1). В координатах Дарбу на гиперболоиде гамильтониан задает ландшафт симметричной двойной ямы. Известно, что асимптотика туннельного расщепления верхних энергетических уровней для данного класса операторов не только экспоненциально убывает, как обычно бывает в двойных ямах, но и быстро осциллирует. В данной работе показано, что этот эффект сохраняется и при рассмотрении основных энергетических состояний. Показано, что в пространстве голоморфных функций оператор принимает вид дифференциального оператора второго порядка. Собственные функции, отвечающие исследуемым энергиям, в окрестности кратной точки поворота выражаются в терминах функций параболического цилиндра и ВКБ-асимптотик. Доказана теорема об осциллирующем туннельном эффекте для основных состояний оператора, используя условие аналитичности собственных функций в круге единичного радиуса. Также показано, что туннельные асимптотики для верхних энергетических уровней отличаются от асимптотик для основного состояния в √π/e раз.

Ключевые слова: semiclassical approximation, квазиклассическое приближение, complex WKB method, комплексный метод ВКБ, tunnel splitting, parabolic cylinder functions, функции параболического цилиндра, туннельное расщепление

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Аналитические и численные методы построения решений нелинейных математических моделей (2024)