Надстройки над декартовыми произведениями сохраняющих ориентацию грубых преобразований окружности

Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25. № 4. С. 273–283.

Зинина С. Х., Ноздринов А. А., Шмуклер В. И.

Одной из конструкций получения потоков на многообразии является по-
строение надстройки над каскадом. В этом случае поток является неособым, то есть не
имеет неподвижных точек. C. Смейл показал, что надстройки над сопряженными диф-
феоморфизмами топологически эквивалентны. Обратное утверждение неверно в общем
случае, но, при некоторых предположениях сопряженность диффеоморфизмов равно-
сильна эквивалентности надстроек. Так, в работе Дж. Икегами показано, что критерий
работает в случае, когда диффеоморфизм задан на многообразии, чья фундаменталь-
ная группа не допускает эпиморфизм в группу Z. Там же построены примеры не сопря-
женных диффеоморфизмов окружности, надстройки над которыми эквивалентны. В
работе И.В. Голиковой и О.В. Починки рассмотрены надстройки над диффеоморфиз-
мами окружностей и доказано, что полным инвариантом эквивалентности надстроек
над сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами является равенство периодов пе-
риодических точек, порождающих их диффеоморфизмов. В то же время из результата
А. Г. Майера известно, что для сопряженности сохраняющих ориентацию диффеомор-
физмов необходимым также является совпадение чисел вращения. В тоже время, над-
стройки над меняющими ориентацию диффеоморфизмами окружностей эквивалентны
тогда и только тогда, когда топологически сопряжены соотвествующие диффеоморфиз-
мы окружностей. В работе С.Х. Зининой и П.И. Починки доказано, что надстройки
над меняющими ориентацию декартовыми произведениями диффеоморфизмов окруж-
ностей эквивалентны тогда и только тогда, когда топологически сопряжены соотвест-
вующие диффеоморфизмы торов. В настоящей работе получен классификационный
результат для надстроек над декартовыми произведениями сохраняющих ориентацию
диффеоморфизмов окружностей.

Ключевые слова: число вращения, manifold, многообразие, superstructure over a diffeomorphism, orientation-preserving diffeomorphism of a circle, number of rotations, Cartesian product of diffeomorphisms, надстройка над диффеоморфизмом, сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности, декартово произведение диффеоморфизмов