Компактные разностные схемы для слабо нелинейных задач и граничные условия, имитирующие задачу Коши

Океанологические исследования. 2019. Т. 47. № 1. С. 32–37.

Гордин В. А.

Компактные разностные схемы хорошо известны и демонстрируют высокий порядок точности для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Разработаны алгоритмы построения компактных схем 4-го порядка для краевых задач с переменным (гладким и со скачком) коэффициентом. Для уравнений диффузии с гладким переменным коэффициентом и уравнения Левина-Леонтовича также построены разностные схемы и экспериментально подтвержден их 4-й порядок. Метод построения компактных схем 4-го порядка можно обобщить на уравнения и системы в частных производных со слабой нелинейностью, например, на уравнение Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова, нелинейное уравнение Шредингера или на систему Фитцхью – Нагумо. Для нелинейных задач используется комбинация простых явных схем и релаксации. Экстраполяция Ричардсона позволяет повысить порядок схем до 6-го.

Для аппроксимации многомерных задач с разрывными коэффициентами, например, двумерного стационарного уравнения диффузии в разнородных средах необходимо оценить возможные асимптотики решений в окрестности изломов линии границы. Для этого используются обобщенные собственные функции в угле, каковые можно использовать в качестве набора тестовых функций и строить компактные разностные схемы, аппроксимирующие задачу на треугольных сетках с высоким порядком точности. Асимптотики по радиусу обобщенных собственных функций (в полярных координатах в окрестности вершины угла) имеют иррациональные показатели, которые можно найти из специального дисперсионного уравнения и которые определяют индексы соответствующих функций Бесселя по радиусу.

Для ряда разностных схем, аппроксимирующих важнейшие эволюционные уравнения математической физики можно построить специальные граничные условия, имитирующие задачу Коши (ИЗК) на всей прямой. Эти условия ИЗК существенно зависят не только от исходного уравнения, но и от типа разностной схемы и даже от коэффициентов соответствующего дифференциального уравнения. Условия ИЗК определяются с точностью до нормировки. Но при численной реализации выбор этой нормировки оказывается существен. Важна роль рациональных аппроксимаций типа Паде-Эрмита символа соответствующего псевдодифференциального оператора. Примеры movie решений задач с условиями ИЗК для разностных схем, аппроксимирующих основные уравнения мат. физики см. https://cs.hse.ru/mmsg/transbounds.

Работа была поддержана грантом № 18-05-0011 в рамках Программы «Научный фонд Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ)» 2018–2019 гг. и в рамках государственной поддержки ведущих университетов Российской Федерации «5–100».

Ключевые слова: экстраполяция Ричардсона, test functions, компактная разностная схема, тестовые функции, Richardson extrapolation, compact finite-difference scheme, разрывный коэффициент диффузии, прозрачные граничные условия, имитирующие задачу Коши, accuracy order, discontinuous diffusion coefficient, transparent boundary conditions imitating Cauchy problem