Рефлективные модулярные формы и их приложения

Успехи математических наук. 2018. Т. 73. № 5. С. 53–122.

Гриценко В. А.

Рефлективные модулярные формы ортогонального типа — это фундаментальные  автоморфные объекты, обобщающие классическую эта-функцию Дедекинда. В этой статье мы опишем в терминах форм Якоби две конструкции  для построения таких модулярных форм: автоморфные произведения и подъем Якоби. В частности, мы докажем, что первый коэффициент Фурье--Якоби модулярной формы Борчердса $\Phi_{12}$  
(производящая функция для ``Fake Monster Lie Algebra’’) в любом из 23 одномерных каспов совпадает  с функцией знаменателя  Каца--Вейля аффинной алгебры системы корней соответствующей решетки Нимейера.  Мы даем новую простую конструкцию автоморфного дискриминанта пространства модулей поверхностей Энриквеса в форме подъема произведения восьми тета-функций и строим три башни рефлективных модулярных форм.  Одна из них, башня D_8, дает решение проблемы К.-И. Йошикава (2009)  о конструкции лоренцевых алгебр Каца--Муди по  автоморфным дискриминантам, связанным с поверхностями 
дел Пеццо и аналитическими кручениями  многообразий Калаби--Яу. Мы также формулируем  условия на подрешетки, позволяющие строить семейства дочерних рефлективных форм по фиксированной форме. В итоге, в статье построено около  100 подобных функций.
 

Ключевые слова: аффинные алгебры Ли, пространства модулей в геометрии, модулярные формы на ортогональной группе, рефлективные модулярные формы, гиперболические алгебры Каца-Муди

ПУБЛИКАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОЕКТА: Зеркальная симметрия и автоморфные формы (2017)