Парадоксы теории множеств

И. В. Ященко

?

Парадоксы теории множеств

МЦНМО, 2014.

При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом:

Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет ?

В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обходится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два.

В приложении 3 приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале брошюры.

Текст брошюры представляет собой обработанные записи лекций, прочитанных автором 8 апреля 2000 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов (запись Е. Н. Осьмовой) и в июле 2001 года в рамках летней школы "Современная математика" для школьников 10–11 классов и студентов 1–2 курса (запись Ю. Л. Притыкина).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Научное направление: Математика Образование

Приоритетные направления: математика

Язык: русский

Ключевые слова: теория множеств

Методические рекомендации. Искусство «исследования действием»: трансформация представлений и практики учителя: учеб.-метод. пособие

Михайлова А. М., М.: Издательский дом НИУ ВШЭ, 2026.

В 16-м выпуске серии учебно-методических пособий «Подготовка профессионалов для нового образования» представлено пособие, которое основано на диссертационном исследовании, посвященном использованию метода «исследование действием» для поддержки профессиональных изменений учителей. В книге показано, как через циклы планирования, действия, наблюдения и рефлексии педагоги постепенно изменяют свои представления и трансформируют уроки — от фронтальных форм к активным, исследовательским и ...

Добавлено: 25 апреля 2026 г.

On Suspension Equivalent Homeomorphisms

Починка О. В., Яковлев Е. И., Шмуклер В. И., Russian Journal of Nonlinear Dynamics 2026

Добавлено: 24 апреля 2026 г.

Передовые инженерные школы: трансфер компетенций, результатов исследований и разработок. Доклад о реализации практик продаж образовательных программ, научно-исследовательских работ и результатов интеллектуальной деятельности в реальном секторе экономики

Коршунов И. А., Ширкова Н. Н., Шадрин С. С. и др., М.: Издательский дом НИУ ВШЭ, 2026.

В докладе рассматриваются показатели разработки и реализации основных продуктов передовых инженерных школ: образовательных программ, научно-исследовательских работ и результатов интеллектуальной деятельности, созданных в рамках федерального проекта «Молодежь и дети». Показатели работы научно-инженерных коллективов сопоставляются с инвестициями в отрасли технологического суверенитета, экономическими показателями развития отраслей и субъектов Российской Федерации. Обсуждается вклад передовых инженерных школ в региональную экономику. ...

Добавлено: 24 апреля 2026 г.

Blobbed topological recursion and KP integrability

Казарян М. Э., Дунин-Барковский П. И., Бычков Б. С. и др., Selecta Mathematica, New Series 2026 Vol. 32 Article 25

Добавлено: 23 апреля 2026 г.

The universal gl-weight system and the chromatic polynomial

Казарян М. Э., Ландо С. К., Коданева Н. М., Journal of Geometry and Physics 2026 No. 225 Article 105841

Добавлено: 23 апреля 2026 г.

Разработка микросервиса ADP для идентификации источников выбросов на основе машинного обучения с подкреплением

Кычкин А. В., Черницин И. А., Прикладная информатика 2026 Т. 21 № 1 С. 40–58

Представлены результаты разработки программного микросервиса, встраиваемого в системы мониторинга качества атмосферного воздуха для поддержки процессов идентификации промышленных источников загрязнений. Выброс и последующее распространение вредных веществ в приземистых слоях атмосферы происходит в динамике и характеризуется высокой неопределенностью из‑за особенностей технологических установок, их режимов работы, влияния рельефа местности, зданий и метеофакторов. Зависимости между местоположением источника выброса и ...

Добавлено: 23 апреля 2026 г.

КРИЗИС УПРАВЛЕНЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ В ЭПОХУ ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ

Рукаманенко Н. А., Смирнова Ю. Г., Сухорукова А. Р., НАУКА. УПРАВЛЕНИЕ. ОБРАЗОВАНИЕ. РФ. 2026 № 1 (21) С. 83–90

Статья посвящена кризису традиционной управленческой модели школы в условиях цифровой трансформации. Анализируются вызовы для воспитательной деятельности и профориентации, требующие перехода от простой «оцифровки» устаревших форм к созданию гибридной среды. Обосновывается необходимость перехода управленческой команды к роли модераторов, осваивающих цифровое пространство для формирования ценностей и гибких образовательных траекторий в соответствии со стратегиями развития воспитания. ...

Добавлено: 22 апреля 2026 г.

2026 International Conference on Artificial Intelligence, Computer, Data Sciences and Applications (ACDSA)

IEEE, 2026.

Добавлено: 21 апреля 2026 г.

О некоторых свойствах многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на положительной полуоси по экспоненциальной норме

Галкин О. Е., Галкина С. Ю., Ястребова И. Ю., Журнал Средневолжского математического общества 2026 Т. 28 № №1 С. 11–30

Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, играют важную роль в теории и практике использования численных методов. С их помощью можно решать задачи оптимизации свойств различных вычислительных алгоритмов. Наша работа посвящена изучению многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на луче в экспоненциальной норме. В настоящей статье мы обсуждаем вопрос о существовании, единственности и характеризации многочленов, наименее уклоняющихся от нуля ...

Добавлено: 20 апреля 2026 г.

Педагогическая поддержка и сопровождение процесса обучения младших школьников

Ширкова Н. Н., Иванова Г. П., Марченко А. А., М.: КноРус, 2026.

Монография «Педагогическая поддержка и сопровождение процесса обучения младших школьников» предназначена для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 44.03.01 «Педагогическое образование» (начальное образование) и 44.03.05 «Педагогическое образование» (два профиля подготовки). В работе рассматриваются современные аспекты педагогической поддержки и системного сопровождения учебного процесса младших школьников, особенно детей с трудностями в обучении. Особое внимание уделяется роли педагогического сопровождения в ...

Добавлено: 20 апреля 2026 г.

Методика аннотирования корпуса устной речи учителей

Риехакайнен Е. И., Браташ В. С., Зубов В. И. и др., Вопросы образования 2024 № 2 С. 251–285

Подробно описаны принципы создания корпуса устной речи учителей, который позволит применять этнографический подход к описанию учительских практик: посредством анализа большого массива записей реальных уроков выявлять лингвистические, психологические и социологические факторы, способствующие повышению результативности преподавания. Корпус включает аудиозаписи уроков в 5–8-х классах общеобразовательных школ трех российских городов. Его аннотирование осуществляется в программе Praat. Для определения лингвистических параметров, ...

Добавлено: 19 апреля 2026 г.

On weak solutions to the 1d compressible Navier-Stokes equations: a Lipschitz continuous dependence on data in weaker norms and an error of their homogenization

Zlotnik Alexander, / Series arXiv "math". 2026. No. 2602.03481v1.

Добавлено: 18 апреля 2026 г.

Comparative Analysis of Incentive-Based and Structural Control in Games on Networks with Linear Best Response

Петров И. В., Doklady Mathematics 2026 Vol. Volume 112 P. S103–S110

Добавлено: 17 апреля 2026 г.

АДАПТАЦИЯ ИНОСТРАННЫХ СТУДЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ЦИФРОВИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Федотова В. А., Константинов В. В., Педагогика. Вопросы теории и практики 2025 Т. 10 № 10 С. 1699–1706

Мировая тенденция к глобализации образования усиливает конкуренцию между университетами за иностранных студентов. Прибывая в новую страну, студенты часто испытывают трудности с адаптацией, что напрямую влияет на их академические успехи и личностный рост. Цифровая среда выступает значимым элементом, влияющим на процесс адаптации. Это влияние носит амбивалентный характер, проявляясь как в позитивных, так и в негативных аспектах. ...

Добавлено: 17 апреля 2026 г.

ВЛИЯНИЕ АКАДЕМИЧЕСКОЙ МОТИВАЦИИ И АДАПТАЦИИ ИНОСТРАННЫХ СТУДЕНТОВ НА УДОВЛЕТВОРЕННОСТЬ ОБУЧЕНИЕМ В ЦИФРОВОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ РОССИЙСКОГО ВУЗА

Константинов В. В., Федотова В. А., Человеческий капитал 2026 № 3 (207) С. 239–249

Успешное освоение образовательного процесса в цифровой среде напрямую связано с развитием академической готовности иностранных студентов. Цель настоящей работы заключалась в выявлении влияния составляющих академической мотивации и факторов социокультурной адаптации на восприятие обучения в цифровой среде российского вуза. В качестве респондентов выступили 194 иностранных студенты из Индии, Китая и стран Ближнего зарубежья (Узбекистана, Таджикистана, Казахстана). В ...

Добавлено: 17 апреля 2026 г.

Коучинг и наставничество: теория и практика: материалы III Всерос. науч.-практич. конф. (Санкт-Петербург, 26-27 февр. 2026 г.)

ИД «Среда», 2026.

Добавлено: 15 апреля 2026 г.

Оптимальный баланс организованного внешкольного времени: порог участия и его влияние на академические результаты, социально-эмоциональные навыки и благополучие подростков

Остапенко Е. С., Иванов И. Ю., Мир психологии. Научно-методический журнал 2026 Т. 1 № 124 С. 222–239

Исследование направлено на оценку оптимального объема органи- зованного внешкольного времени подростков. На выборке из 1 859 учащихся 5–8-х классов крупного города проанализированы связи интенсивности и разнообразия ор- ганизованного времени с академическими результатами, социально-эмоциональными навыками и школьным благополучием. Результаты подтверждают наличие U-образной связи: умеренное участие (до 12 ч и 4 видов занятий) связано с максимальной успевае- ...

Добавлено: 14 апреля 2026 г.

Specificities of Teaching Ancient Egyptian Language in Russia and New Steps Towards Solving Current Pedagogical Problems

Локтионов А. А., Tsipileva A., Journal of Language Pedagogy and Innovative Applied Linguistics 2025 Vol. 3 No. 2 P. 39–44

Исторически Россия обладает богатой египтологической традицией, но в настоящее время страдает от нехватки квалифицированных специалистов в этой области. Это связано с недостатком современных ресурсов для преподавания древнеегипетского языка российским студентам, а это значит, что, несмотря на впечатляющие музейные коллекции по Египту, стране сложно в полной мере использовать их потенциал. В данной статье описывается эта проблема, ...

Добавлено: 13 апреля 2026 г.

Сборник исследовательских работ участников XXXIII Всероссийского Конкурса юношеских исследовательских работ им. В. И. Вернадского

М.: Библиотека журнала «Исследователь/Researcher», 2026.

В сборнике представлены наиболее интересные работы, поступившие на ХXXIII Всероссийский Конкурс юношеских исследовательских работ им. В. И. Вернадского 2026 года, и рецензии, которые написаны специалистами в соответствующих областях. Представляет интерес для школьников, интересующихся творческими задачами в области естественных и гуманитарных наук, учителей, педагогов, общественности. ...

Добавлено: 12 апреля 2026 г.

Asymptotic expansion of self-consistent energy levels of hydrogen atom in ortogonal electric and magnetic fields

A. V. Pereskokov, Theoretical and Mathematical Physics 2026 Vol. 226 No. 3 P. 470–484

Добавлено: 12 апреля 2026 г.

On the dimension of the space of static potentials on three-manifolds

Медведев В. О., / Series arXiv "math". 2026.

We investigate the interplay between the dimension of the space of static potentials and the geometric and topological structure of the underlying static three-manifold. A partial classification of boundaryless static manifolds is obtained in terms of this dimension. We also treat the case of static manifolds with boundary. In particular, we prove that if a ...

Добавлено: 3 апреля 2026 г.

Using predefined vector systems to speed up neural network multimillion class classification

Gabdullin N., Андросов И. А., / Series Computer Science "arxiv.org". 2026.

Добавлено: 2 апреля 2026 г.

Homogeneous maximizers of the Blaschke-Santalo-type functionals

Колесников А. В., / Series arXiv "math". 2025.

Добавлено: 13 февраля 2026 г.

Iterative Ricci-Foster Curvature Flow with GMM-Based Edge Pruning: A Novel Approach to Community Detection

Сорокин К. С., Бекетов М. Е., Онучин А. и др., / arxiv.org. Серия cs.SI "Social and Information Networks ". 2025.

Обнаружение сообществ в сложных сетях — фундаментальная проблема, открытая для новых подходов в различных научных областях. Мы представляем новый метод обнаружения сообществ, основанный на потоке Риччи на графах. Наша техника итеративно обновляет веса ребер (их метрические длины) в соответствии с их (комбинаторной) версией кривизны Риччи Фостера, вычисленной на основе эффективного расстояния сопротивления между узлами. Известно, ...

Добавлено: 15 января 2026 г.