Трехмерные цепные дроби и суммы Клостермана

Успехи математических наук. 2015. Т. 70. № 3. С. 107–180.

Устинов А. В.

Обзор посвящен результатам, связанным с метрическими свойствами классических цепных дробей и трехмерных цепных дробей Вороного–Минковского. Основное внимание уделяется применению аналитических методов, основанных на оценках сумм Клостермана. В статье развивается аппарат, предназначенный для решения задач на трехмерных решетках. В основе подхода лежит идея редукции к предыдущей размерности, применявшаяся ранее Линником и Скубенко при исследовании целочисленных решений детерминантного уравнения detX=P, где X – матрица размера 3×3 с независимыми коэффициентами и P – растущий параметр.
Предлагаемый метод применяется для изучения статистических свойств трехмерных цепных дробей Вороного–Минковского в решетках с фиксированным определителем. В частности, для среднего числа базисов Минковского доказывается асимптотическая формула со степенным понижением в остаточном члене. Этот результат можно считать трехмерным аналогом теоремы Портера о средней длине конечных цепных дробей.

Ключевые слова: решетки, Kloosterman sums, суммы Клостермана, Lattices, three-dimensional continued fractions, Gauss – Kuz'min statistics, трехмерные цепные дроби, статистики Гаусса - Кузьмина