?
О гамильтоновых проективных бильярдах на границах произведений выпуклых тел
Пусть K⊂Rnq и T⊂Rnp — два ограниченных строго выпуклых тела (открытых подмножества) с C6-гладкими границами. Рассматривается произведение ¯¯¯¯Kׯ¯¯¯T⊂R2nq,p, снабженное стандартной симплектической формой ω=∑nj=1dqj∧dpj. Орбитами (K,T)-бильярда называются непрерывные кривые на границе ∂(K×T), пересечения которых с открытым всюду плотным подмножеством (K×∂T)∪(∂K×T) касаются характеристического поля направлений, заданного ядрами ограничений симплектической формы ω на касательные пространства к границе. Для любой точки (q,p)∈K×∂T характеристическая прямая в T(q,p)R2n порождается вектором (→n(p),0), где →n(p) — вектор внешней нормали к Tp∂T; аналогичное утверждение справедливо и для (q,p)∈∂K×T. Проекция каждой орбиты (K,T)-бильярда на K является орбитой так называемого T-бильярда в K. В случае, когда тело T центрально симметрично, это бильярд в пространстве Rnq, снабженном структурой финслерова пространства Минковского, "двойственной к T". Соответствующий финслеров закон отражения был введен в совместной работе С. Табачникова и Е. Гуткина в 2002 г. Исследование орбит (K,T)-бильярдов тесно связано с симплектической изопериметрической гипотезой К. Витербо (контрпример к которой недавно построили П. Хаим-Кислев и Я. Островер) и со знаменитой гипотезой Малера из выпуклой геометрии. В настоящей работе исследуется частный случай, когда закон отражения T-бильярда является проективным законом отражения, введенным Табачниковым, т.е. задается проективными инволюциями проективизированных касательных пространств TqRn, q∈∂K. Показано, что это происходит тогда и только тогда, когда T — эллипсоид, или, что эквивалентно, когда все T-бильярды одновременно аффинно эквивалентны евклидовым бильярдам. В качестве приложения аналогичные результаты выводятся для финслеровых бильярдов.