Распределение последовательностей Коробова–Главки

Математический сборник. 2022. Т. 213. № 9. С. 70–96.

Илларионов А. А.

Пусть $N$ --- натуральное число и $a_1, \ldots, a_s$ --- целые числа.
Коробов (1959) и Главка (1962)  предложили использовать точки вида
$$x^{(k)} = (\{a_1 k/N\}, \ldots, \{a_1 k/N\}), \quad k=1,\ldots, N,
$$
в качестве узлов многомерных квадратурных формул. Мы получаем некоторые новые результаты, связанные с распределением последовательности $K_N(a)=\{x^{(1)},\ldots, x^{(N)}\}$.
В частности, мы доказываем, что
$$
   \frac{\ln^{s-1} N}{N \ln\ln N} \und{s}\ll   D(K_N(a)) \und{s}\ll \frac{\ln^{s-1} N}{N} \ln\ln N
$$
для <<почти всех>> $a\in (\ZZ_N^*)^s$, где  $D(K_N(a))$ --- отклонение последовательности  $K_N(a)$ от равномерного распределения, а
$\ZZ^*_N$ --- приведенная система вычетов по модулю $N$.

Ключевые слова: равномерное распределение, теоретико-числовые квадратурные формулы, сетки Коробова