О глобальных экстремумах степенных функций Такаги

Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25. № 2. С. 22–36.

Галкин О. Е., Галкина С. Ю., Тронов А. А.

Степенные функции Такаги $S_p$ по конструкции аналогичны непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции Такаги, описанной в 1903~г. Функции $S_p$ имеют один вещественный параметр $p>0$ и задаются на числовой прямой с помощью ряда $S_p(x) = \sum_{n=0}^\infty (S_0(2^nx)/2^n)^p$, где $S_0(x)$ --- расстояние между точкой $x\in{\mathbb R}$ и ближайшей к ней целой точкой. Мы показываем, что при любом $p>0$ функции $S_p$ на $\mathbb R$ являются всюду непрерывными, но нигде не дифференцируемыми. Далее мы выводим для степенных функции Такаги функциональные уравнения. С помощью этих можно, в частности, вычислять значения $S_p(x)$ в рациональных точках $x$. Кроме того, при всех значениях параметра $p$ из интервала $(0;1)$ мы находим глобальные экстремумы функций $S_p$, а также точки, где они достигаются.  При этом оказывается, что глобальный максимум функций $S_p$ равен $2^p/(3^p(2^p-1))$ и достигается только в точках вида $q+1/3$ и $q+2/3$, где $q$ --- произвольное целое число. Глобальный минимум функций $S_p$ равен $0$ и достигается только в целых точках. Используя результаты о глобальных экстремумах, мы получаем двусторонние оценки для функций $S_p$ и находим точки, в которых эти оценки достигаются.

Ключевые слова: непрерывность, continuity, global extrema, functional equations, функциональные уравнения, power Takagi function, nowhere differentiability, степенная функция Такаги, нигде не дифференцируемость, глобальные экстремумы