Статья
Chebyshev Polynomials, Zolotarev Polynomials, and Plane Trees
A polynomial with exactly two critical values is called a generalized Chebyshev polynomial (or Shabat polynomial). A polynomial with exactly three critical values is called a Zolotarev polynomial. Two Chebyshev polynomials f and g are called Z-homotopic if there exists a family pα, α(Formula presented.) [0, 1], where p0 = f, p1 = g, and pα is a Zolotarev polynomial if α(Formula presented.) (0, 1). As each Chebyshev polynomial defines a plane tree (and vice versa), Z-homotopy can be defined for plane trees. In this work, we prove some necessary geometric conditions for the existence of Z-homotopy of plane trees, describe Z-homotopy for trees with five and six edges, and study one interesting example in the class of trees with seven edges. © 2015 Springer Science+Business Media New York
HOMFLY polynomials are the Wilson-loop averages in Chern-Simons theory and depend on four variables: the closed line (knot) in 3d space-time, representation R of the gauge group SU(N) and exponentiated coupling constant q. From analysis of a big variety of different knots we conclude that at q, which is a 2m-th root of unity, q2m=1, HOMFLY polynomials in symmetric representations [r] satisfy recursion identity: Hr+m=Hr{dot operator}Hm for any A=qN, which is a generalization of the property Hr=H1r for special polynomials at m=1. We conjecture a further generalization to arbitrary representation R, which, however, is checked only for torus knots. Next, Kashaev polynomial, which arises from HR at q2=e2πi/|R|, turns equal to the special polynomial with A substituted by A|R|, provided R is a single-hook representations (including arbitrary symmetric) - what provides a q-A dual to the similar property of Alexander polynomial. All this implies non-trivial relations for the coefficients of the differential expansions, which are believed to provide reasonable coordinates in the space of knots - existence of such universal relations means that these variables are still not unconstrained. © 2015 Published by Elsevier B.V.
В статье рассматриваются задачи, отражающие универсальность и красоту метода неопределенных коэффициентов в школьном курсе алгебры. Идея метода позволит школьникам расширить свои представления о действиях с многочленами, открыть для себя другой способ деления многочлена на многочлен, овладеть навыками избавления от иррациональности в знаменателе дроби, научиться раскладывать правильную рациональную дробь на простейшие. Предложенные примеры могут быть полезны как для учителей математики, так и для учащихся, серьезно интересующихся математикой.
В сборнике представлены тезисы докладов участников XVIII Международной студенческой конференции-школы-семинара «Новые информационные технологии», состоявшейся в мае 2010 года.
Сборник состоит из двух разделов. Первый раздел сборника включает пленарные доклады ведущих специалистов. Второй раздел содержит тезисы докладов студентов и аспирантов, учащихся техникумов и колледжей, участвовавших в работе школы-семинара.
В основе настоящего учебного пособия лежит специальный курс по выбору студента, прочитанный автором на механико - математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова в 2010-2012 учебных годах. Пособие знакомит читателя с методом параметрикса и его дискретным аналогом, развитым в самое последнее время автором пособия и его коллегами-соавторами. Оно объединяет воедино материал, который ранее содержался только в ряде журнальных статей. Не стремясь к максимальной общности изложения, автор ставил целью продемонстрировать возможности метода при доказательстве локальных предельных теорем о сходимости марковских цепей к диффузионному процессу и при получении двусторонних оценок типа Аронсона для некоторых вырожденных диффузий.
Настоящая книга представляет собой своеобразный расширенный учебник по математической статистике. Данный учебник не ограничен рамками учебного стандарта или вузовской программы --- он предназначен всем, кто интересуется математикой вообще и, в частности, хочет узнать, что такое современная математическая статистика, какие задачи и какими методами она решает, какие результаты в ней уже накоплены, какие проблемы в ней сегодня актуальны; наконец, каковы ее истоки, какой путь она прошла и какие ученые были ее творцами. По замыслу авторов, книга простым и доступным языком рассказывает о математической статистике и одновременно обучает ей. Вся теория объясняется и иллюстрируется на интересных и тщательно подобранных примерах. Книга может служить и задачником, так как содержит большой список упражнений для самостоятельного решения, а также справочным пособием по математической статистике, а в некоторых аспектах --- и по теории вероятностей.
Книга будет интересна преподавателям, аспирантам и студентам естественных и технических вузов, в которых изучается математическая статистика, научным работникам, использующим в своей деятельности методы математической статистики, а также самому широкому кругу любителей математики.
В сборнике представлены тезисы докладов участников XIX Международной студенческой конференции-школы-семинара «Новые информационные технологии», состоявшейся в мае 2011 года.
Сборник состоит из двух разделов. Первый раздел сборника включает пленарные доклады ведущих специалистов. Второй раздел содержит тезисы докладов студентов и аспирантов, учащихся техникумов и колледжей, участвовавших в работе школы-семинара.