• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Статья

Сингулярные начальные и краевые задачи для интегродифференциальных уравнений в динамических моделях страхования с учетом инвестиций.

Белкина Т. А., Конюхова Н. Б., Курочкин С. В.

Приводятся основные результаты исследования двух математических моделей страхования с учетом поведения страховой компании на финансовом рынке – вложении постоянной доли капитала в рисковый актив (акции) и оставшейся доли – в безрисковый актив (банковский счет); заменой параметров – характеристик акций – такая стратегия сводится к случаю вложения всего капитала в рисковый актив. Первая модель основана на классическом процессе риска Крам´ера-Лундберга при экспоненциальном распределении размеров страховых требований (исков); в основе второй модели – модификация классического процесса риска (так называемый процесс риска со случайными премиями) при экспоненциальных распределениях как размеров исков, так и размеров страховых взносов (премий). Для вероятности неразорения страховой компании за бесконечное время (как функции ее начального капитала) возникают сингулярные зада- чи для линейных интегродифференциальных уравнений (ИДУ) второго порядка, определенных на полубесконечном интервале и обладающих неинтегрируемыми особенностями в нуле и на бесконечности: первая модель приводит к сингулярной начальной задаче с ограничениями для ИДУ с вольтерровым интегральным оператором, вторая – к более сложной краевой задаче с ограничениями и нелокальным условием в нуле для ИДУ с невольтерровым интегральным оператором. Задачи для ИДУ сводятся к эквивалентным сингулярным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Приводятся теоремы существования и единственности решений с описанием их свойств и глобального поведения, даны асимптотические представления решений в окрестностях особых точек. Предложены эффективные алгоритмы численного нахождения решений, приведены результаты расчетов и дана их экономическая интерпретация.